книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Вычислим дисперсию

Представим (яг—а)2 следующим образом:

D[\\=e

После привидения подобных членов находим, что дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону. Плотность вероятности случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется формулой (5.23):

Вычислимматематическое ожидание и дисперсию этой величины:

+оо

M [£]=A , f xe~kxdx. b

140

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины рас­ пределенной по закону равномерной плотности. Плотность вероят­ ности случайной величины, распределенной в промежутке [а, Ь] по закону равномерной плотности, определяется формулой (5.24):

для а < Х & ;

/(* ) = 6 — а

0 для х<С.а и для х^>Ь.

Вычислим математическое ожидание этой величины:

а

141

Аналогично находим дисперсию

а

Вычисление числовых характеристик случайной величины, рас­ пределенной по нормальному закону. Вычислим некоторые число­ вые характеристики случайной величины, распределенной по нор­ мальному закону. Плотность вероятности нормальной случайной величины в общем случае имеет вид:

Найдем математическое ожидание:

Сделаем замену переменной:

Тогда интеграл в правой части равенства преобразуется к виду:

Первый интеграл равен нулю (как интеграл от нечетной функ­ ции по симметричному промежутку). Второй интеграл равен У 2л (см. 5.27). Поэтому

Найдем дисперсию:

Подстановкой (5.108) преобразуем это выражение к виду:

Вычислим последний интеграл по частям, обозначая

142

Тогда

При вычислении пределов воспользуемся правилом Лопиталя. Находим

_ р_

Из (5.110) и (5.111) следует, что

+ 00

t%e dt — У 2л.

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределен­ ной по нормальному закону, равна

Найдем третий центральный момент:

Заменой переменной по формуле (5.108) преобразуем это выра­ жение к виду

Так как в правой части стоит интеграл от нечетной функции по

симметричному промежутку, то р|3) = 0. Следовательно, асиммет­ рия нормального закона распределения равна 0.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Вычислим математиче­ ское ожидание и дисперсию числа успехов £ в п опытах, проводи­ мых по схеме Бернулли. Закон распределения £ называется бино­ миальным и может быть задан рядом распределения (5.3):

P (g = m) = C ^ P V _m-

143

При вычислении М [£ ] и D [£ ] воспользуемся не определением этих числовых характеристик, как делали при решении подобных задач до сих пор, а их свойствами 4 и 7. Для этого введем вспомога­ тельные независимые случайные величины |х, |2, . . . , £я. Пусть = 1, если в t-м опыте произошло событие А и ^ = 0 в противном

случае. Так как

P { t i= l } = P { A l) = p

и

P { l t= - 0 } = P ( A i) = l - p = q,

то

M [ l i] = 0q+\ p=p\

D [ t i] = [0— p f q + [ \ — p]2p = p 2q+q2p=pq(p + q) = РЯ-

5.9. Числовые характеристики векторных случайных величин

На примере двумерного случайного вектора г (|, т|} познако­ мимся с основными числовыми характеристиками случайных век­ торов. Для каждой компоненты случайного вектора определены все те же числовые характеристики, что и для любой скалярной случайной величины, в том числе начальные и центральные мо­ менты. Чаще других находят практическое применение первые на­ чальные моменты или математические ожидания, и центральные моменты второго порядка или дисперсии:

Вектор г {m§, тц] называют средним значением, или математи­

ческим ожиданием случайного вектора г {g, rj}. Точку М {т%,~.тп\ часто называют также центром рассеивания системы случайных величин {I, т)}. Для характеристики разброса значений координат применяются также средние квадратические отклонения

ог= У D [I]; cr4 = ]/ Ъ [rj] •

144

Наряду с числовыми характеристиками каждой компоненты, рассматриваются совместные числовые характеристики несколь­ ких компонент. Смешанным начальным моментом порядка а + (3

называется М [£ат1Р], смешанным центральным моментом порядка а + р называется М [(£ — Ш|)“ (ц — т п)р]. Наибольшее практи­ ческое значение имеет смешанный центральный момент второго порядка, М [(£—m6) (rj—т л) ], называемый корреляционным мо­ ментом.

Определение 1. Корреляционным моментом (или ковариацией)

Kin системы двух случайных величин (£, ц) называется математи­ ческое ожидание величины (£—т§) (ц—т^):

+оо 4-со

= м 1(£— Щ) (Л— tnn)\ = f J {l —m^{r[--mK)f{x, y)dxdy.

— DO — OO

Корреляционный момент характеризует связь между случай­ ными величинами § и ц.

Определение 2. Случайные величины называются некоррелирован­ ными, если их корреляционный момент равен нулю.

Покажем, что независимые случайные величины некоррелированы.

Пусть (|, т]) независимы, тогда независимы и величины £—т% и rj—тц, поэтому на основании свойства 3 математического ожида­ ния

Кщ = М [(£ — mg) (т)— Шп)] = М [I —тг] М [т]— т л]

следовательно, и Кщ ~ 0.

Из равенства нулю корреляционного момента еще не следует независимость случайных величин. Существуют зависимые, но не­ коррелированные случайные величины. Заметим, что на величину корреляционного момента влияет не только степень зависимости случайных величин, но и разброс значений случайного вектора от­ носительно центра рассеивания. Чтобы ослабить это влияние, рас­ сматривают безразмерную величину

называемую коэффициентом корреляции случайных величин £ и т]. Приведем без доказательства некоторые свойства коэффициента

корреляции:

1. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превос ходит единицы

ken К 1-

+ i = °-

Коэффициент корреляции координат случайного вектора, рас­ пределенного по нормальному закону. Совместная плотность веро­ ятности координат случайного вектора, распределенного по нор­ мальному закону, определяется формулой (5.50). Было показано, что математические ожидания и средне-квадратические отклонения

Первое слагаемое этого выражения равно нулю (интегралы в нем берутся от нечетных функций по симметричным промежуткам). Каждый интеграл во втором слагаемом в силу (5.27) и (5.110) равен

У 2л. Поэтому

К|п ~ (Бо+J.

Откуда

гы = 1г.

Таким образом, параметр k совместной плотности вероятности координат случайного вектора г (|г|), распределенного по нормаль­ ному закону, является коэффициентом корреляции координат £ и т).

аргументом которой является случайная величина, сама является случайной величиной. Точно также функция от нескольких слу­ чайных величин

£ = Ф (1 , Л)

является случайной величиной.

Покажем, как по известному закону распределения аргументов находится закон распределения функции. Согласно определению, функция распределения F2 (у) случайной величины т) есть вероят­ ность того, что значения случайной величины ц будут меньше ар­

Таким образом, значение функции распределения случайной ве­ личины г] в точке у равно вероятности попадания значений случай­ ной величины £ в те области оси Ох, где выполнено неравен­ ство ф (х)<'у. Эта задача решается особенно просто, если функция у = ф (х) строго монотонна в области возможных значений |. Пусть [а, b] область возможных значений г]. Тогда существует однознач­ ная обратная функция х = ф (у), определенная на [а, Ь]. Для оп­ ределенности будем считать функцию ф (х) возрастающей. Тогда неравенство ф (£)<Дг/ будет выполняться для £ < ф (у). Таким об­ разом, в случае возрастающей функции получаем:

=ДЛЯ !><“ •

(Ф(г/)) Для у > а .

В этом выражении через Fx (х) обозначена функция распределе­ ния случайной величины £.

Предположим теперь дополнительно, что функция ф (х) имеет на всей числовой оси не обращающуюся в ноль производную, а закон распределения случайной величины £ задан плотностью вероят­ ности fx (х). Тогда закон распределения случайной величины г] = = ф (£) также можно задать плотностью вероятности / 2 (у)- Дей­ ствительно, при сделанных предположениях функции /Д (х) и ф (у)

дифференцируемы, а следовательно, дифференцируема и функция F2 (у). Применяя правило дифференцирования сложной функции, находим:

к (у) = F 2 (у) = F'l {х) Ху = к($(у))У (у).

В общем случае монотонной функции

к (У) = к (Ф Ш ■IФ' (У)

Пример 2. Зная плотность вероятности fa (х) случайной величины |, вы­ числить плотность вероятности fa (у) случайной величины тц являю­

щейся линейной функцией от

/2 (У) = к ^У — Ь\ 1

М

Можно показать, что линей­ ная функция г) от нормальной случайной величины | является нормальной случайной величи­ ной, причем

% = ami + % = |а \а.

Найдем функцию распределения F3 (z) функции от двух случай­

случайных величин (|, т]), функцию распределения случайной ве­ личины £ можно найти по формуле

Fs(z)= f f f (х, у) dxdy,

(Dz)

Пример 3. Вычислить функцию распределения F3 (г) и плотность вероят­ ности f3 (г) суммы С= I + Ц двух независимых случайных величин

Iи т), плотности вероятности которых fa (х) и fa (у) известны.

Ре ш е н и е . Ввиду независимости | и т) их совместная плотность вероятности I (х, у) равна произведению частных плотностей вероят­ ностей:

148

руем функцию распределения Fs (г). В правой части (5.117) от г за­ висит только верхний предел внутреннего интеграла. Как известно, производная от определенного интеграла с переменным верхним пре­ делом по этому пределу равна значению подинтегральной функции при этом пределе. Следовательно,

— ОО

Распределение суммы нормальных случайных величин. Пусть независимые случайные величины £ и т] распределены по нормаль­

ливым также в случае, когда некоторые или все слагаемые являются зависимыми случайными величинами.

Закон распределения %2 (Пирсона) и закон распределения Стьюдента. В статистике при обработке результатов измерений широко используются некоторые специальным образом составленные функ­ ции нормальных случайных величин. Рассмотрим две из них:

(5.119)

и

(5.120)

где ^2, . . . , — независимые случайные величины, каждая из которых распределена по нормальному закону с параметрами

т и а.

Закон распределения случайной величины xh-х называется рас­

пределением х2 (или. законом распределения Пирсона) с (п— 1) степенями свободы.

Закон распределения случайной величины tn_ l называется за­ коном распределения Стьюдента с (п— 1) степенями свободы.

149