книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие
.pdfПросуммируем эти неравенства для всех k, т. е. для всех частич ных цилиндроидов. С учетом равенства (1.3) получим:
fc=i |
2iM kAsk. |
(1.4) |
ft=i |
|
Заметим, что tnk и Mk — значения функции f (х, у) в некоторых точках области Dk. Отсюда следует, что суммы
ПП
^ m kAsk и |
h M kAsk |
k=i |
k=i |
есть интегральные суммы функции f (х, у) в области D.
Таким образом, объем цилиндроида V ограничен двумя интег ральными суммами, которые отличаются только выбором точек в ча стичных областях. Будем увеличивать п таким образом, чтобы ранг дробления Ап стремился к нулю. Так как для непрерывной функции предел последовательности интегральных сумм существует и не зависит от выбора точек в частичных областях, то при Хп 0 каж дая интегральная сумма, входящая в соотношение (1.4), стремится к двойному интегралу от функции f (х, у) по области D. Отсюда получаем:*
о= Ш (*. y)ds■ г |
О-5) |
D |
|
Таким образом, двойной интеграл от непрерывной положитель ной функции численно равен объему цилиндроида, образованного f (х, у) на области D.
1.2. Свойства двойного интеграла
Будем предполагать, что все рассматриваемые функции опреде лены и интегрируемы в области D и в любой ее части.
Линейность. Свойство 1. Постоянный множитель можно вы носить за знак двойного интеграла, т. е.
$ Ы (х, |
y)ds = a j$ f(x, y)ds. |
(1.6) |
D |
D |
|
Свойство 2. Двойной интеграл по области D от суммы функций равен сумме двойных интегралов по области D от каждого слагае мого. Для случая двух слагаемых это свойство может быть выра жено формулой
Ш Ы * . |
y) + ft(x, l/)]ds = J J /1(x, |
y)ds + $$fa{x, у) ds. (1.7) |
D |
D |
D |
Доказательство свойств 1 и 2 вытекает непосредственно из опре деления двойного интеграла.
* См. [1], § 5.15, теорема 4.
10
■Свойство 3 (обобщающее свойства 1 и 2).
И |
k |
k |
1= 1 |
У) ds= 2 |
|
D |
|
y)'ds |
( 1.8) |
D
Свойство 3 доказывается последовательным применением свойств
1 и 2.
Равенство (1.8) и выражает свойство линейности двойного ин теграла относительно подынтегральной функции. Двойной интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации от двойных интегралов.
Заметим, что свойства, аналогичные свойствам 1, 2, 3, справед ливы и для определенного интеграла.
Аддитивность относительно области интегрирования. Свойство 4.
Если область D разбита на две области D г и D 2, не имеющие общих внутренних точек, то имеет место равенство
Я f(x, |
y)ds = $$f(x, |
y)ds + $$f(x, y)ds. |
(1.9) |
D |
D i |
D 2 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Разобьем область D на части таким образом, чтобы каждая частичная область целиком принадлежала или области D x, или области D 2 (для этого надо в число линий, дро бящих область D на части, включить линию, отделяющую область Dy от области D 2). Тогда интегральную сумму по области D можно представить в виде
2 / (xk, yk) As* = 2 / (**. |
yk) As* + 2 / (хк, ук) As*, |
(1.10) |
|
D |
D 1 |
D 2 |
|
где индексы под каждой суммой указывают, к какой области от носятся слагаемые, входящие в сумму. Переходя к пределу в ра венстве (1.10) при стремлении к нулю ранга дробления области, получим равенство (1.9), что и требовалось доказать.
Оценки двойного интеграла. Свойство 5. Двойной интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, т. е. из неравенства f (х, У) > 0 в области D следует неравенство
Яfix, y)d s> 0.
D
Доказательство свойства вытекает из формулы (1.2), в правой части которой оказывается предел от суммы неотрицательных ве личин, т. е. неотрицательное число.
Свойство 6. |
Если функции fy (х, у) и / 2 (х, у) |
таковы, что для |
всех точек области D справедливо соотношение |
|
|
то |
fi(x, у )> Ъ (х , у), |
(1.11) |
|
Я /i (х, У) ds > JJ/ 2 (х, у) ds. |
■ (1.12) |
DD
До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим функцию Ф (х, у), оп ределенную соотношением
Ф (*. y)= fi(x, У) — /г (х, у).
11
Из формулы (1.11) следует, что Ф (х, у) > 0 . Применим к функ ции Ф (х, у) свойство 5 и получим:
Я [М *> y)—h(x, у)] d s > 0 .
D
Отсюда с учетом (1.8) получим требуемое неравенство (1.12).
Свойство 7. Если числа т и М таковы, что для всех точек обла сти D справедливо соотношение
|
т < /( х , |
у )^ М , |
(1.13) |
|||
то имеет место формула |
|
|
|
|
|
|
|
mS |
JJ / (х, |
y)ds -<CMS, |
|
||
|
|
d |
|
|
|
|
где S — площадь области D. |
По свойству 6 из соотношения (1.13) |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||
следует: |
|
|
|
у) ds < JJ Mds. |
|
|
|
Я mds < |
Я f (х, |
(1.14) |
|||
|
D |
D |
|
|
D |
|
Или, вынося за знак интеграла постоянные множители т и М |
||||||
(свойство I), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
т f j d s < |
Я /( я , |
y)ds < М Я ds. |
(1.15) |
||
|
D |
D |
|
|
D |
|
Входящий |
в неравенства |
(1.15) |
интеграл JJ ds |
вычислим по |
||
определению. |
Подставляя |
в формулу |
D |
1, получаем: |
||
(1.2) f (х, у) = |
||||||
|
|
|
|
Гя |
|
|
|
Я ds = lim 2 |
As*. |
|
|||
|
D |
|
%п->0 k=\ |
|
||
Так как очевидно, что при любом разбиении области D на части
1 Ask= S , fc=i
то получаем следующую формулу:
[jjds=S. (1.16)
"d
Подставляя формулу (1.16) в неравенство (1.15), получаем тре буемое неравенство (1.14).
Замечание. Оценка (1.14) окажется более точной, если в качестве чисел т и М взять соответственно наименьшее и наибольшее значения функ ции jF(*, у) в области D.
Теорема о среднем. Свойство 8. Если функция f (х, у) непрерывна
взамкнутой области D, то в этой области найдется такая точка
Р(х0, у0), для которой справедливо равенство:
Я / ( Х , у) ds — f (х0, y0)S. |
(1.17) |
D |
|
12
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция / |
(х, у) непрерывна |
|
в D и D замкнута, то функция / (х, у) достигает в D своего наиболь |
||
шего и наименьшего значений. Обозначим их |
соответственно М |
|
и т. Следовательно, для всех точек области D имеет место соотно |
||
шение |
|
|
m < f( x , г/)<7И. |
|
|
Применив свойство 7, получим: |
|
|
mS |
J J/ (х, у) ds 4^MS. |
|
|
D |
|
Разделив все члены этого соотношения на S, получим: |
||
m |
11 f (*> y)ds^.M . |
(1.18) |
S |
D |
|
Так как функция / (х, у) непрерывна в D, то она принимает в об ласти D любое значение, заключенное между т и М, в том числе и значение
y)ds,
S D
которое в силу соотношения (1.18) заключено между ш и М . Таким образом, в области D найдется такая точка Р (х0, у0), для которой
/(*о, У о )= -^ Ш (* > y)ds. |
|
S |
D |
Умножив обе части этого равенства на S, получим формулу (1.17), что и требовалось доказать.
Замечание. Значение функции в точке (х0, у0), для которой справедлива формула (1.17), называется с р е д н и м и н т е г р а л ь н ы м з н а ч е н и е м функции £ (х, у) в области D, что и определяет название теоремы.
В заключение этого параграфа отметим, что среди свойств опре деленного интеграла существуют свойства, аналогичные рассмот ренным свойствам двойного интеграла.
1.3. Вычисление двойных интегралов
Простая область. Пусть в плоскости Оху задана область D и зафиксировано некоторое направление I. Будем говорить, что об ласть D простая в направлении /, если она удовлетворяет следую щим условиям: 1) область D ограничена; 2) область D односвязна; 3) любая прямая, параллельная I и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух и только в двух точках.
Будем говорить, что D — простая область, если она является простой в направлении оси х и в направлении оси у. Примеры об ластей, простых в каком-либо направлении, приведены на рис. 4.
13
Область D x — простая в направлении у, область D 2 — простая в направлении х, область D3— простая в направлении I. Примеры простых областей (простых как в направлении х, так и в направ лении у) приведены на рис. 5. Область П4 является простой в лю бом направлении, в том числе и в направлениях х н у , следова тельно, она является простой. Область Ьъ также является простой в направлениях х н у , однако в любом другом направлении она не является простой.
На рис. 6 приведены примеры областей, не являющихся про стыми. Область D6— бесконечная полоса — не является простой, так как нарушено условие ограниченности. Легко видеть, что об ласти D7 и D8 также не являются простыми. Заметим, что области D, и D8 могут быть разбиты на конечное число простых областей. Так, прямые KF и LP разбивают область £>7 на 4 области, простые в направлении оси у, прямые MN и QE разбивают область Ds на 5 областей, простых в направлении оси у.
Способы задания границы простых областей. Рассмотрим не которые способы задания границы простых областей.
1. |
Если область D простая в направлении оси у, то границй |
|
области может быть задана в следующем виде (рис. 7): |
||
|
х = |
х — Ъ, |
|
У—У\(*);' |
(1.19) |
|
У = У*{х), |
|
14
причем для всех х из промежутка (а, Ь), где a<yb, выполняется неравенство
УЛх)<Уъ(х)- |
(1.20) |
Формулу (1.19) с учетом (1.20) будем называть первой канони ческой‘формой задания границы области. Таким образом, в этом случае область D слева ограничена отрезком прямой х = а (отрез ком АВ), справа — отрезком прямой х = b (отрезком СЕ). Ниж ней границей области является кривая ух (х), верхней границей — кривая у 2 (х).
2. |
Если область D простая в направлении оси х, то граница об |
||
ласти может быть задана в виде (рис. 8): |
|
||
|
У = с\ |
y = d, |
( 1.21) |
|
х = х1(у)\ |
х = х 2 (у), |
|
|
|
||
причем для всех у из промежутка (с, d), где c<yd, выполняется не равенство
X i(y)< x2(y). |
(1.22) |
Формулу (1.21) с учетом (1.22) будем называть второй канони ческой формой задания границы области. Таким образом, область D ограничена снизу отрезком прямой у = с (отрезок АЕ), сверху
отрезком прямой у = d (отрезок ВС). Слева область D ограничена кривой х 1 (у), справа — кривой х2 (у).
3. Если область D является простой, то ее граница может быть представлена как в первой, так и во второй канонических формах.
В этом случае область D может быть изображена так, как показано
на рис. 9. При |
представлении границы области D в первой кано |
||
нической форме |
в качестве кривой ух (х) следует |
взять |
линию |
ALHG, а в качестве кривой у 2 (х) — линию BCEF. При представ |
|||
лении границы области D во второй канонической форме в каче |
|||
стве кривых хг (у) и х 2 (у) следует взять соответственно |
линии |
||
LABC и HGFE. При этом любой из отрезков, входящий в границу, |
|||
может оказаться |
вырожденным в точку (например, |
если точки А |
|
и В совпадут). |
|
|
|
15
Пример 1. Пусть D — область, ограниченная эллипсом,
х2 |
+ - £ - = 1 . |
(1.23) |
аа |
Ь2 |
|
Требуется представить границу области в канонической форме двумя способами: 1) как простую в направлении оси у, т. е. в форме (1.19); 2) как простую в направлении оси х (т. е. в форме (1.21).
Р е ш е н и е 1. Разрешим уравнение (1.23) относительно у, по лучим:
у = ± |
— |
V а 2— х2. |
а |
а |
г |
Отсюда легко найти область допустимых значений переменной х: |
||
|х\ < а, т. е. — а < х <а. |
Таким образом, граничными значениями |
|
переменной х являются значения х = — а, х — а. Через любую внут реннюю точку области D про ведем прямую, параллельную
оси у. Эта прямая |
пересечет |
границу области в |
двух точ |
ках (область простая |
в напра |
влении оси у). Пусть абсцисса
внутренней |
точки |
х |
(где |
х £ (— а, а), |
тогда |
ординаты |
|
точек пересечения проведенной прямой с границей области могут быть определены форму лами:
Гл = - |
4 - |
У2 — |
У а 2 — Xй, |
причем Уг^>Уг- Легко видеть, что точка с координатами (х, (/г) лежит
на «нижней границе» области, а точка (х, у2) — на верхней. |
Итак, |
||
граница области D может быть задана в виде (рис. 10) |
|
||
' х = — а; |
х = а; |
|
|
у — -----— К а2— х2 (кривая АЕС), у |
- —^ - У а г — х%(кривая АВС). |
||
2. Разрешим уравнение (1.23) относительно х. Получим: |
|
||
|
х = ± Д - / 6 2 — у2- |
|
|
|
Ь |
|
|
Отсюда |
находим область допустимых значений переменной у: |
||
|у |< Ь, т. е. — Ъ < у < Ь. |
|
будут, |
|
Таким |
образом, .граничными значениями переменной у |
||
у = — b и у = Ь. Через любую внутреннюю точку области D |
прове |
||
дем прямую, параллельную оси х. Эта |
“рямая пересечет границу об |
||
ласти в двух точках (область простая |
в направлении оси х). |
Пусть |
|
ордината внутренней точки у, где у £ (— Ь, Ь), тогда абсциссы точек пересечения прямой с границей области могут быть определены фор мулами:
. *1 = — — у **— ff2; *2 = — b ь
16
причем х 2^>х1. Итак, граница области/? может быть задана в виде
' у = — Ь; у = Ь\ |
|
-------- У Ь2— у2(кривая ЕАВ)\ |
УЪ2— у2(кривая ЕСВ). |
Ь |
|
Пример 2. Пусть D область, ограниченная линиями
у — х = 3; у — х2 = 1.
Требуется представить границу области в канонической форме двумя способами.
Р е ш е н и е . Для построения области D найдем пересечение линий, ограничивающих область. Для этого надо решить систему уравнений, состоящую из урав нений линий, образующих гра ницу: •
у — х = 3;
У — х2= 1.
Выразим у из первого урав нения и подставим во второе, по лучим:
у = х + 3; х -+- 3 — х2 ~ 1;
х2 — х — 2 = 0.
Решая это квадратное урав нение, получаем:
Xi = — 1, х2 — 2.
Подставляя |
эти |
значения |
|
в одно из |
уравнений системы, |
||
определяем |
значения у |
У\ — 2; |
|
у2 = 5. Таким образом, |
искомые |
||
точки пересечения |
имеют следующие координаты: точка В (рис. 11) — |
||
—(— 1,2), точка С — (2,5).
1.Воспользуемся тем, что область D ■—простая в направлении оси
у. Легко видеть, что граничными значениями переменной х являются значения х г = — 1 и х2 = 2. При изменении переменной х в этих пределах переменная у меняется от линии ВАС, являющейся нижней границей области, до линии ВС, являющейся верхней границей. Чтобы получить задание границы в первой канонической форме, каж дую из этих линий надо представить в виде у = у (х).
В этом виде линия ВАС имеет вид у = х2 + 1, а линия ВС имеет вид у = х + 3.
Таким образом, граница области может быть представлена г виде:
х = |
— 1; |
х = |
2, |
у = |
X2->г \\ |
у = |
х -{-?>. |
2. Воспользуемся тем, что область D —простая в направлении осих. Легко видеть, что граничными значениями переменной являются зна чения i/i = 1, у 2 = 5. При изменении переменной в этих пределах переменная х меняется от линии АВС, являющейся левой границей, до линии АС, являющейся правой гр^Гйцёй,. Чтоб,БГ'-пвяучч1-’и^аа^ание
Заказ № 1740 |
| л |
: |
5 17 |
границы области в форме (1.21), надо каждую |
из этих линий задать |
||||
в виде х — х (у). В этом виде линия |
АВС имеет вид |
||||
j |
х = — У у — * |
при |
1 < у < 2; |
|
|
1 |
х = у — 3 |
при 2 < у < 5, |
|||
а линия АС имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
х = = У у — 1. |
|
|
|
Таким образом, окончательно получаем: |
|
||||
1, |
у = 5; |
|
|
|
|
( |
— У у — 1 |
при |
1 < у < 2; |
______ |
|
1 |
у — 3 |
|
|
х — У у — 1 • |
|
при 2 < у < 5; |
|
||||
Вычисление двойного интеграла с помощью двукратного. Пусть функция f (х, у) интегрируема в области D. Требуется вычислить двойной интеграл (/) от функции f (х, у) по области D, где
J = f |/(х, у) dxdy.
'd
Для упрощения рассуждений будем считать, что / (х, у)^>0 для всех точек области D. Тогда двойной интеграл J численно равен объему цилиндроида V, образованного функцией f (х, у) над областью D. Рассмотрим два случая.
1. Пусть область D является простой в направлении оси у Тогда граница области может быть представлена в первой канони ческой форме:
( |
х = а, |
х — Ь, |
\ |
y = yi(x), |
У = Уа(х), |
и цилиндроид V можно представить в виде, изображенном на рис. 12. Для вычисления объема этого тела вычислим площадь произволь ного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси х. Зафикси руем любое значение переменной х из интервала [а, Ь]. Сечение, соответствующее этому значению, является криволинейной тра пецией АВСЕ, образованной функцией z = / (х, у). При фиксиро ванном х эта функция является функцией только одного аргумента у, который меняется от уг (х) до у 2 (х). Вычислить площадь можно с помощью интегрирования по у. Полученный результат будет за висеть от фиксированного значения х, т. е. будет являться функцией от х. Обозначим эту функцию Ф (х), тогда
Уг м |
(1.24) |
Ф (х) = j fix, y)dy. |
|
У1(*) |
|
18
Формула (1.24) верна для любого х из интервала [а, Ь]. Для вычисления объема цилиндроида можно воспользоваться формулой для вычисления объема тела, заданного площадями сечений*:
ь
v = j Ф (х) dx.
а
Подставив в это равенство формулу (1.24), получим:
|
У-2 (X) |
v = |
</1(х) f (х, у) dy dx. |
Так как двойной интеграл J численно равен объему v, то полу чаем следующую формулу:
ь Г (х)
I f(x,y)dy dx. o LJi (X)
Обычно эту формулу записывают в следующем виде:
|
Ь у? (х) |
|
|
Ш (*> |
y)dxdy = \dx |
J f(x, у) dy. |
(1.25) |
D |
a |
yl (х) |
|
2. Пусть область D является простой в направлении оси х. Тогда граница области может быть представлена во второй кано нической форме:
У— с\ y = d,
х = х 1(у)-, х = хг (у),
и цилиндроид V можно представить в виде, изображенном на рис. 13. Для вычисления объема этого тела вычислим площадь произволь ного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси у. Зафикси руем любое значение переменной у из интервала (с, d). Сечение,
* См. [2], формула (7.6).
2* |
19 |