Лекция 6. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. a b = ab cosϕ

Свойства скалярного произведения:

a a = a 2;

a b = 0, ĺńëč a b čëč a=0 čëč b = 0. a b = b a;

a (b + c) = a b + a c

(ma) b = a (mb) = m(a b); m = const

Если рассматривать векторы a (xa , ya , za );b(xb , yb , zb ) в декартовой прямоугольной системе

координат, то a b = xa xb + ya yb + za zb ;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между

Пример. Найти (5a + 3b)(2a − b), если a = 2, b = 3, a b. 10a a − 5a b + 6a b − 3b b = 10 a 2 − 3 b 2 = 40 − 27 = 13,

т.к. a a = a 2 = 4,b b = b 2 = 9, a b = 0.

Пример. Найти угол между векторами a и b , если a = i + 2 j + 3k , b = 6i + 4 j − 2k . Т.е.

a = (1, 2,3),b = (6, 4, −2).a b = 6 + 8 − 6 = 8 :

28