Лекция 2. Определители и их свойства
Понятия определителя
Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминант) называется число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам.
a11 |
a12 |
... |
a1n |
||
a |
a |
|
... |
a |
|
= det A = 21 |
|
22 |
... |
|
2n |
... ... |
... |
||||
|
an2 |
... |
|
|
|
an1 |
anm |
||||
•Квадратная матрица первого порядка состоит из одного элемента поэтому её
определитель равен самому элементу = a11 = a11
•Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
a a
=a21 a22
•Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника:= a11a22 − a21a121211
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a32a23a11 − a21a12a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
Определение минора
Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы A называется определитель (n −1)-го порядка полученный из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца на пересечении которых данный элемент находится.
Алгебраическое дополнение (адъюнкт)
Aij = (−1)i+ j iMij .
Вычисление определителей
Теорема ( без доказательств) о разложении определителя по элементам строки ( столбца) . Для каждой квадратной матрицы A порядка n имеет место формула
n
= det A = ∑aik iAik = ai1 Ai1 +ai2 Ai2 + ...+ ain Ain , ĺńëč i = 1, n; k =1
n
= det A = ∑akj iAkj = a1 j A1 j +a2 j A2 j + ...+ anj Anj , ĺńëč j = 1, n. k =1
10
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
= a11, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
= a11 A11 + a12 A12 = A11 = (+ )a22 ; A12 = (−)a21 |
= a11a22 − a12a21 |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример: |
= a21 a22 |
a23 |
= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11M11 − a12M12 + a13M13 = |
|||||||||||||||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= a |
a22 |
a23 |
− a |
a21 |
a23 |
− a |
a21 |
a22 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
11 |
a |
a |
12 |
a |
a |
13 |
a |
a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
31 |
32 |
|
31 |
32 |
|
||
= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a32a23a11 − a21a12a33
Свойства определителей
При транспонировании величина определителя не меняется.
= |
a |
b |
= ad − bc; |
= |
a |
c |
= ad − bc. |
|
ń |
d |
|
|
b |
d |
|
Строки и столбцы определителя эквиваленты.
Если в определители поменять местами какие-либо две строки (столбца) местами, то определитель меняет знак.
= |
a |
b |
= ad − bc; |
= |
b a |
= bc − ad. |
|
ń |
d |
|
|
d c |
|
Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен 0.
При умножении элементов какого-либо столбца (строки) на число α, определитель умножается на это число.
= |
|
a |
b |
|
= ad − bc; |
|
α ia |
b |
|
= α iad − α ibc = α i . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ń |
d |
|
|
|
α iń |
d |
|
|
Если все элементы какого-либо столбца (строки) равны 0 , то определитель равен 0. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен 0.
= |
|
a |
β a |
|
= β |
|
a |
a |
|
= ac − ac = 0. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ń |
β ń |
|
|
|
ń |
ń |
|
|
Пусть каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя равен сумме двух слагаемых, тогда этот определитель равен сумме двух определителей, причём в первом их них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а во втором - из вторых слагаемых.
a' + a" |
b |
= |
a' |
b |
+ |
a" |
b |
. |
|
c' + c" |
d |
c' |
d |
c" |
d |
||||
|
|
|
Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца умноженного на одно и тоже число.
a b |
|
= |
|
a + αb b |
|
= |
|
a b |
|
αb |
b |
|
= 0. |
|
|
|
|
+ |
|
||||||||
c d |
|
|
|
c + α d d |
|
|
|
c d |
|
α d |
d |
|
|
Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраического дополнения к элементам другого столбца равна 0.
Пример: Вычислить определитель 1. По правилу треугольника
11
2 |
3 |
5 |
= 40 + 36 + 40 − 30 − 64 − 30 = −8; |
1 |
2 |
4 |
|
3 |
8 |
10 |
|
2. Разложение по первой строке
|
2 |
3 |
5 |
= 2i |
|
2 4 |
|
− 3i |
|
1 4 |
|
+ 5i |
|
1 2 |
|
= 2i(−12) − 3i(−2) + 5i2 = −8; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
8 |
10 |
|
|
|
8 |
10 |
|
|
|
3 |
10 |
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Преобразование первого столбца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
= (−1) (2 + 6) = 8; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
4 |
= − |
|
2 |
3 |
5 |
|
|
Ι× |
-2 +ΙΙ |
= − |
2 |
|
−1 |
−3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ι× |
-3 +ΙΙ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
8 |
10 |
|
|
|
|
3 |
8 |
10 |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
−2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. Понятия определителя
Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминант) называется число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам.
a11 |
a12 |
... |
a1n |
||
a |
a |
|
... |
a |
|
= det A = 21 |
|
22 |
... |
|
2n |
... ... |
... |
||||
an1 |
an2 |
... |
anm |
||
•Квадратная матрица первого порядка состоит из одного элемента поэтому её
определитель равен самому элементу = a11 = a11
•Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
a a
=a21 a22
•Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника:= a11a22 − a21a121211
a11 a12 a13
= a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a32a23a11 − a21a12a33 a31 a32 a33
2. Определение минора
Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы A называется определитель (n −1)-го порядка полученный из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца на пересечении которых данный элемент находится.
Алгебраическое дополнение (адъюнкт)
Aij = (−1)i+ j iMij .
12
3. Вычисление определителей
Теорема (без доказательств) о разложении определителя по элементам строки (столбца). Для каждой квадратной матрицы A порядка n имеет место формула
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= det A = ∑aik iAik |
= ai1 Ai1 +ai2 Ai2 + ...+ ain Ain , если i = |
|
|
; |
|
|||||||||||||||
|
1, n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= det A = ∑akj iAkj |
= a1 j A1 j |
+a2 j A2 j |
+ ...+ anj Anj , если j = |
|
. |
|||||||||||||||
|
1, n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
= a11, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
= a11 A11 + a12 A12 = A11 = (+ )a22 ; A12 = (−)a21 = a11a22 − a12a21 |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= a21 |
a22 |
a23 |
= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11M11 − a12M12 + a13M13 = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= a |
a22 |
a23 |
− a |
a21 |
a23 |
− a |
a21 |
a22 = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
a |
a |
|
12 |
a |
a |
13 |
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
|
31 |
32 |
|
31 |
32 |
|
|
|
|
||
=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a32a23a11 − a21a12a33
4.Свойства определителей
1.При транспонировании величина определителя не меняется.
= |
a |
b |
= ad − bc; |
= |
a |
c |
= ad − bc. |
|
ń |
d |
|
|
b |
d |
|
Строки и столбцы определителя эквиваленты.
2.Если в определители поменять местами какие-либо две строки (столбца) местами, то определитель меняет знак.
= |
a |
b |
= ad − bc; |
= |
b a |
= bc − ad. |
|
ń |
d |
|
|
d c |
|
3.Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен 0.
4.При умножении элементов какого-либо столбца (строки) на число α, определитель умножается на это число.
= |
|
a |
b |
|
= ad − bc; |
|
α ia |
b |
|
= α iad − α ibc = α i . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ń |
d |
|
|
|
α iń |
d |
|
|
5.Если все элементы какого-либо столбца (строки) равны 0 , то определитель равен 0.
6.Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен 0.
= |
|
a |
β a |
|
= β |
|
a |
a |
|
= ac − ac = 0. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ń |
β ń |
|
|
|
ń |
ń |
|
|
7.Пусть каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя равен сумме двух слагаемых, тогда этот определитель равен сумме двух определителей, причём в первом их них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а во втором - из вторых слагаемых.
13
a' + a" |
b |
= |
a' |
b |
+ |
a" |
b |
. |
|
c' + c" |
d |
c' |
d |
c" |
d |
||||
|
|
|
8.Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца умноженного на одно и тоже число.
a b |
|
= |
|
a + αb b |
|
= |
|
a b |
|
αb |
b |
|
= 0. |
|
|
|
|
+ |
|
||||||||
c d |
|
|
|
c + α d d |
|
|
|
c d |
|
α d |
d |
|
|
9.Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраического дополнения к элементам другого столбца равна 0.
Пример: Вычислить определитель 1. По правилу треугольника
2 |
3 |
5 |
= 40 + 36 + 40 − 30 − 64 − 30 = −8; |
1 |
2 |
4 |
|
3 |
8 |
10 |
|
2. Разложение по первой строке
|
2 |
3 |
5 |
= 2i |
|
2 4 |
|
− 3i |
|
1 4 |
|
+ 5i |
|
1 2 |
|
= 2i(−12) − 3i(−2) + 5i2 = −8; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
8 |
10 |
|
|
|
8 |
10 |
|
|
|
3 |
10 |
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Преобразование первого столбца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
= (−1) (2 + 6) = 8; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
4 |
= − |
|
2 |
3 |
5 |
|
|
Ι× |
-2 +ΙΙ |
= − |
2 |
|
−1 |
−3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ι× |
-3 +ΙΙ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
8 |
10 |
|
|
|
|
3 |
8 |
10 |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
−2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
= − |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
4 |
2 |
3 |
5 |
|
3 |
8 |
10 |
|
3 |
8 |
10 |
I (−2)+ II I (−3)+ III
|
1 |
2 |
4 |
= (−1) (2 + 6) = −8; |
= − |
0 |
− 1 − 3 |
||
|
0 |
2 |
− 2 |
|
14