Свойства обратных матриц

1.( A −1) −1 = A;

2.( AB) −1 = B −1A −1;

3.( AT ) −1 = (A −1)T .

2.Решение систем линейных уравнений

16

где a11,..., amn -коэффициенты системы - aij , b1,...,bm - свободные члены- bi .

Система, имеющая решения называется совместной, не имеющая решения называется несовместной.

Тогда, пользуясь правилами умножения матриц, система записывается в матричном виде:

2.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом

Рассмотрим случай, когда m ≠ n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных.

Учитывая, что A−1 A = E, E X = X , будем иметь X = A−1 B (3). Равенство (3) представляет собой матричную запись решения системы (1).

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

2.3 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. Действительно, если какоелибо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какойлибо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Используя, вид матриц A−1, A, X , B распишем выражение X = A−1 B в следующем виде:

Значит xi = i , i = 1,..., n (5), ăäĺ i (i = 1, 2,..., n) - определитель, полученный из заменой i -ого столбца свободными членами

17

Формулы (5) называют формулами Крамера.

Пример. Решите систему линейных уравнений:

Ранг матрицы

Выделим произвольно t-строк и t-столбцов. Определитель порядка t , составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных t -строк и t -столбцов называется порожденным матрицей A .

Пример:

Рангом матрицы называется натуральное число равное наибольшему из порядков определителей отличных от нуля среди порожденных данной матрицей.

Если RgA = r , значит

1. Существует определитель порядка r ≠ 0 ;

18

2. Все определители порядка больше чем r обращается в нуль. Теорема о ранге матрицы.

Ранг матрицы A не изменится, если:

1.Строки заменить столбцами(транспонировать);

2.Поменять местами два столбца (строки);

3.Умножить каждый элемент столбца на одно и тоже число отличное от нуля.

4.Сложить два столбца(строки) .

Доказательство теоремы полностью основывается на свойствах определителей. Вычисление ранга матрицы.

Преобразование матрицы в трапециевидную.

19