Лекция 4. Исследование систем линейных уравнений

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

Кэлементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех

1.Теорема Кронекера – Капели (условие совместности системы)

Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг её матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы RgA = RgAp .

Если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы и равен n числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, но меньше n числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений.

Если ранг матрицы A меньше ранга расширенной матрицы и равен n числу неизвестных, то система не имеет решения.

RgA = RgAp = r < n .

Решаем данную систему так:

1.Выделим любые r уравнений и r неизвестных, но так чтобы определитель был отличен от нуля.

x1, x2 ,...xr - основные (базисные) переменные; xr+1, xr+2 ,...xn - свободные переменные.

20

2.Перенесем слагаемые со свободными неизвестными в правую часть.

3.Решим полученную систему относительно основных переменных, предавая свободным переменным произвольные значения, получим для основных переменных бесконечное множество решений.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 1x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5 = 2

2x1 + 11x2 + 12x3 + 25x4 + 22x5 = 4

2x1 + 7x2 = 6 − 3x3 − x4 ;3x1 + 5x2 = 4 − 2x3 − 2x4.

21

2.Метод Гаусса

Вотличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

2x1 + x2 − x3 = 5x1 − 2x2 + 3x3 = −37x1 + x2 − x3 = 10

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

x1 − 2x2 + 3x3 = −3

5x2 − 7x3 = 11 , откуда получаем: x3 = 2, x2 = 5, x1 = 1.− x3 = −2

Решение однородных систем

Однородные системы линейных уравнений.

Однородная система линейных уравненийэта система вида

22

Если ранг матрицы A меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. RgA = r , то r – переменных основных, а

(r − n) - свободных.

Пример:

решение x = y = z = 0 .

Пример:

5x1 − 5x2 + 10x3 − x4 = 0;3x1 + x2 + 7x3 + x4 = 0;x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 = 0.

x3 = x3 , x4 = x4 .

23

24