- •Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление
- •Свойства:
- •Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
- •2. Специальные приемы дифференцирования
- •2.1. Логарифмическое дифференцирование
- •2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Правило Лопиталя
- •Найти пределы следующих функций:
- •Самостоятельная работа
- •Примерный вариант контрольной работы
- •8. Возрастание и убывание функций
- •9. Максимум и минимум функции
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •11. Решение задач на максимум и минимум
- •12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •13. Асимптоты кривой
- •14. Исследование функции и построение графиков
- •15. Варианты типового расчета
9. Максимум и минимум функции
Точка называется точкоймаксимума или минимума функции , если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенствоилисоответственно. Значения функции в точкеназываются соответственномаксимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Значения аргумента, при которых функция имеет экстремум, называются критическими точками первого рода.
Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти ее производную и, приравняв ее к нулю, решить уравнение. Корни этого уравнения, а также точки, в которых производная не существует, являются критическими точками первого рода.
Если знак производной при переходе через точку меняется с плюса на минус, тоесть точка максимума. Если знак производной при переходе через точкуменяется с минуса на плюс, тоесть точка минимума. Если знак не меняется, то в точкеэкстремума нет.
Иногда проще исследовать критическую точку по знаку второй производной. Если в критической точке, где первая производная равна нулю, , тоесть точка минимума. Если, тоесть точка максимума. Если, то такую точку исследуют по первой производной.
Если функция задана неявно , то для того, чтобы, должно выполняться равенство. Здесь,производные от функциипои, найденные в предположении, чтоине зависят оти, соответственно. Решая совместнои, находим критические точки. Экстремум функции в критических точках находят по знаку второй производной. Если в критической точке, то это точка максимума. Если, то это точка минимума.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Находим производную и приравняем ее к нулю. Корни этого уравнения,являются критическими точками.
При переходе через точку производная знака не меняет, т.к. данный множитель в квадрате, а при переходе через точкуменяет знак с минуса на плюс. Значит, в точкефункция имеет минимум. Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции.
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Находим первую производную и приравняем ее к нулю. Корни этого уравнения,,являются критическими точками. Находим вторую производнуюи выясним знак второй производной в критических точках:- функция имеет максимум;- функция имеет минимум;функция имеет минимум. Определяем экстремальные значения функции:- максимум функции;- минимум функции;- минимум функции.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Находим первую производную и приравниваем ее к нулю. Корни этого уравнения,Являются критическими точками. Находим вторую производнуюи выясним знак в критических точках.
В точке вторая производная- функция имеет максимум. В точкевторая производная, следовательно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстремума по первой производной. Поскольку при переходе через точкупервая производная знака не меняет, то в точкеэкстремума нет.
Определяем в точке максимальное значение функции.
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим производную . Приравниваем производную к нулюи находим критическую точку. При переходе через точкупроизводнаяменяет знак с минуса на плюс, следовательно, в точкефункция имеет минимум.
Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем . Отсюда находим критическую точку функции, в которой производная не существует. Очевидно, что в точкепроизводная, а в точкепроизводная. Следовательно,есть точка максимума функции.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Функция задана неявно. Находим и. Производнаятогда, когда, т.е..
Решая систему уравнений находим критическую. Вычисляем вторую производную. В критической точкеи, если, и, если. Таким образом, функцияприимеет минимум, а приимеет максимум.
Найти максимум и минимум функции:
1. . Ответ:.
2. Ответ:.
3. . Ответ:.
4. . Ответ:,.
5. . Ответ:,,.
6. . Ответ:,
.
7. . Ответ: экстремумов нет.
8. . Ответ:,.
9. . Ответ:,.
10. . Ответ:.
11. . Ответ:,.
12. . Ответ:,.
13. . Ответ:.
14. . Ответ:.
15. . Ответ:.
16. . Ответ:,.
17. . Ответ:,.
18. Ответ:,.
19. Ответ:,.
20. . Ответ:,.
21. неявная функция: .
Ответ: ,.
22. неявная функция: .
Ответ: ,.
23. параметрически заданная функция: .
Ответ: .
24. параметрически заданная функция:
Ответ: .
25. . Ответ:,
если четное, то.
26. .
Ответ: , еслинечетное;
если четное, то экстремумов нет.
27. . Ответ:,
если четное, то, есличетное, то.