- •Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление
- •Свойства:
- •Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
- •2. Специальные приемы дифференцирования
- •2.1. Логарифмическое дифференцирование
- •2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Правило Лопиталя
- •Найти пределы следующих функций:
- •Самостоятельная работа
- •Примерный вариант контрольной работы
- •8. Возрастание и убывание функций
- •9. Максимум и минимум функции
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •11. Решение задач на максимум и минимум
- •12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •13. Асимптоты кривой
- •14. Исследование функции и построение графиков
- •15. Варианты типового расчета
Правило Лопиталя
Пусть в некоторой окрестности точки функцииидифференцируемы и. Еслиили, т.е. частноев точкепредставляет собой неопределенность видаили, то
, если предел в правой части этого равенства существует.
Другими словами: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, если .
Если частное в точкетакже есть неопределенность видаилии производныеиудовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
В случае неопределенности вида илиследует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности видаилии далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида или, илиследует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Замечание: В правой части формулы Лопиталя берется отношение производных, а не производная отношения.
Пример 1. Найти .
Решение: Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим:.
Пример 2. Найти .
Решение: .
Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз.
.
Пример 3. Найти .
Решение: Имеем неопределенность вида . Переписывая выражение в виде, получим неопределенность вида. Применяя правило Лопиталя, получим.
Замечание: Если имеется неопределенность вида илипри вычислении предела функции, то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида. При этом.
Пример 4. Найти .
Решение:
, т.к. .
Отсюда .
Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия неопределенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.
Пример 5. Найти .
Решение: Если применить правило Лопиталя, то получим
,
т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами. Неопределенность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначальный вид. Таким образом, использование правила Лопиталя в данном случае не позволит раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что .
Пример 6. Найти .
Решение: Если применить правило Лопиталя, т.е.
,
то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной функции не существует, т.к. не существует . На самом деле, т.к.(произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию).
Пример 7. Найти .
Решение: Если , то имеем неопределенность. Прологарифмируем данную функцию .
Получим: .
Далее: .
Следовательно, или.
Найти пределы следующих функций:
Неопределенность вида .
1. . Ответ:.
2. . Ответ:.
3. . Ответ:.
4. . Ответ: 18.
5. . Ответ:.
6. . Ответ: 0,18.
Неопределенность вида .
1. . Ответ: 1.
2. ,. Ответ: 0.
3. . Ответ:.
4. . Ответ:.
5. . Ответ: 0.
Неопределенность вида .
1. . Ответ:.
2. . Ответ: 1.
3. Ответ: 0.
Неопределенность вида .
1. . Ответ:.
2. . Ответ:.
3. . Ответ:.
Неопределенности вида ,,.
1. . Ответ: 1.
2. . Ответ:.
3. . Ответ: 2.
4. . Ответ:.