Свойства:
;
;
;
;
.
.
По
правилу дифференцирования обратной
функции получим:
.
Переходя
к обычным обозначениям, имеем:
.
.
По правилу дифференцирования обратной функции получим:
.
Переходя к обычным обозначениям, имеем:
,
.
g)
.
;
.
h)
;
,
.
i)
.
По правилу
дифференцирования сложных функций
имеем:
.
j)
.
По правилу дифференцирования сложных
функций имеем:
.
Пример 7. Найти производные функций:
a)
.
Если
основание логарифма
является некоторой функцией
,
то при нахождении производной целесообразно
перейти к натуральным логарифмам
,
.
.
b)
.
Перейдем
к натуральному логарифму
.
Отсюда
.
;
c)
.
.
Найти производные следующих функций:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
,
перед дифференцированием лучше упростить
выражение с помощью свойств логарифмов:
.
16.
.
17.
;
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37.
.
38.
.
39.
.
Найти
производные функций и вычислить их
значения в точке
:
1.
,
.
2.
,
.
3.
,
.
3.
,
.
Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
2. Специальные приемы дифференцирования
2.1. Логарифмическое дифференцирование
Функция
вида
называетсяпоказательно-степенной.
При дифференцировании таких функций
рекомендуется использовать схему
логарифмического дифференцирования:
Если
,то
.
Дифференцируем левую и правую части последнего равенства, учитывая правила дифференцирования сложной функции. Получим:
;
;
.
Если
,
то
,
т.е. производная показательно-степенной
функции состоит из двух слагаемых:
первое получается, если рассматривать
функцию при дифференцировании как
степенную, второе как показательную.
Найти
производную
:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.