- •Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление
- •Свойства:
- •Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
- •2. Специальные приемы дифференцирования
- •2.1. Логарифмическое дифференцирование
- •2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Правило Лопиталя
- •Найти пределы следующих функций:
- •Самостоятельная работа
- •Примерный вариант контрольной работы
- •8. Возрастание и убывание функций
- •9. Максимум и минимум функции
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •11. Решение задач на максимум и минимум
- •12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •13. Асимптоты кривой
- •14. Исследование функции и построение графиков
- •15. Варианты типового расчета
13. Асимптоты кривой
Пусть для функции существует такая прямая, что расстояние от точкиграфика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точкио начала координат. Такая прямая называется асимптотой графика функции.
Если или, то прямаяявляетсявертикальной асимптотой графика функции .
Если существует конечный предел , то прямая с уравнениемявляетсягоризонтальной производной графика функции.
Прямая являетсянаклонной асимптотой графика функции, если существуют конечные пределы вида ,. Если хотя бы один из указанных пределов не существует или равен бесконечности, то у функции наклонных асимптот нет.
Если функция задана параметрически то исследуют, нет ли таких значений параметра, при которых функцииили одна из них обращается в бесконечность.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где,, причем.
Если при , то график функции имеет вертикальную асимптоту. Если при, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.
Если кривая задана уравнением в полярной системе координат, то преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по формуламее асимптоты находят по предыдущему правилу.
Если функция задана неявно уравнением , то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее представить ее в полярных координатах или перейти к параметрическому виду.
Пример 1. Найти асимптоты графика функции .
Решение: При функция терпит разрыв, причем,. Значит, прямаяявляется вертикальной асимптотой. Находим параметрынаклонной асимптоты,. Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид.
Пример 2. Найти асимптоты графика функции .
Решение: Так как , то прямыеибудут вертикальными асимптотами. Так как припредел, то прямаяявляется горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, так каки.
Пример 3. Найти асимптоты графика функции .
Решение: Функция не определена в точке . Но существует предел. Бесконечных разрывов нет. Точка- устранимая точка разрыва. Вертикальных асимптот нет.
Определим наклонные асимптоты:
, , следовательно,будет горизонтальной асимптотой.
Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту , переходя с одной ее стороны на другую в точках,и неограниченно приближается к ней.
Пример 4. Найти асимптоты графика функции
Решение: При . Следовательно,является горизонтальной асимптотой. При, следовательно,есть вертикальная асимптота.
Пример 5. Найти асимптоты графика функции
Решение: При функция стремится к бесконечности.
, ,
,
Следовательно, наклонные асимптоты имеют вид ,.
Пример 6. Найти асимптоты графика функции .
Решение: Приведем уравнение, заданное в полярных координатах, к параметрическому виду: где- параметр. При. Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту.
Найти асимптоты графика функций:
1. . Ответ: вертикальные асимптоты.
2. . Ответ:.
3. . Ответ:.
4. . Ответ:;.
(часть гиперболы ).
5. . Ответ:.
6. . Ответ: нет.
7. . Ответ:.
8. . Ответ:;при;при
9. . Ответ:.
10. . Ответ:при.
Найти асимптоты функции, обратной к функции :
11. . Ответ:.
12. . Ответ:.
13. . Ответ:.
14. . Ответ:.
15. Найти все асимптоты кривой:
Ответ: , точка самопересечения.
16.Ответ:при;при.
17. Может ли график функции иметь две разные асимптоты при ?