3. Дифференциал функции

Дифференциал (первого порядка) функции -это главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциал аргумента равен его приращению: . Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента.

Основные свойства дифференциала:

1. , где-const.

2. .

3. .

4. .

5. ,.

6. ,. Форма дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом состоит свойствоинвариантности формы дифференциала первого порядка.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка:.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: .Дифференциал n-го порядка: .

Если и- независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

, ,…..,.

Если ,, то, где дифференцирование функциивыполняется по переменной. Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.

.

Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и. Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Абсолютная величина разности между истинным значением какой-либо величины и ее приближенным значениемназывается абсолютной погрешностью и обозначается .

Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности к истинному значению называется относительной погрешностью и обозначается . Относительная погрешность обычно выражается в процентах.

Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то получим приближенное значение приращения . В этом случае абсолютная погрешность равна, а относительная погрешность будет.

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции при некотором значении аргумента, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью,. Тогда

.

Отсюда видно, что .

Относительная погрешность функции выражается формулой

.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: .

Пример 2. Найти все дифференциалы функции .

Решение: ,

, ,

, .

Пример 3. Найти для неявно заданной функции.

Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную

, тогда .

Вычислим вторую производную

, отсюда .

Пример 4. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и дифференциал: ,,.

Решение: ..

Пример 5. Вычислить приближенное значение .

Решение: Рассмотрим функцию . Полагая,и применяя формулу, получим:

.

Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Решение: Воспользуемся формулой . Полагая , , имеем. Следовательно, приближенное значение площади круга составляет.

Пример 7. Для функции найти приращение ординаты касательной и приращение функции при переходе аргументаот значенияк.

Решение: согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции .

При иполучим.

Приращение функции находим по формуле

.

Следовательно, приращение ординаты касательной равно 0,7, а приращение функции 0,71. Т. к. , то.

Пример 8. Найти дифференциал и приращение функции в точкеи. Найти абсолютную и относительную погрешности значения функции при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Имеем: ,

.

При иполучим:

, .

Абсолютная погрешность , а относительная погрешность.

Пример 9. При измерении сторона куба оказалась равной 4 см. При этом максимально возможная погрешность измерениянаходится в пределахсм. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.

Решение: Объем куба равен см.

Возможная неточность измерения .

Отсюда абсолютная погрешность .

Относительная погрешность .

Пример 10. Найти приближенно .

Решение: Полагаем , тогда,

.

Если принять , то,.

Найти дифференциалы указанных порядков от функций:

1. ,-?. Ответ:.

2. ,-? Ответ:.

3. ,-? Ответ:.

4. ,-? Ответ:.

5. ,,,-? Ответ:.

, .

6. ,-?

Ответ: .

7. ,-? Ответ:.

8. ,-? Ответ:.

9. -? Ответ:.

10. -? Ответ:.

11. ,-? Ответ:.

12. ,-? Ответ:.

13. ,.-? Ответ:,.

14. ,,-?

Ответ: ,.

15. -?

Найти приближенное значение:

16. . Ответ: 0,811.

17. . Ответ: 1,035.

18. . Ответ: 0,078.

19. . Ответ: 1,9938.

20. . Ответ: 2,02.

21. . Ответ:3,03.

22. . Ответ:.

23. . Ответ:.

24. . Ответ: 0,1.

25. . Ответ:.

26. Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус см увеличить на 0,2см. Ответ: 565.

27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .

28. Сравнить приращение и дифференциал функции .

Ответ: ,.

29. Вычислить ,для функцииприи.

Ответ: ,.

30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.

Ответ: .

31. Найти приближенное значение из уравнения:

. Ответ: .

32. Найти приближенно значение объема шара радиуса .

Ответ: .

33. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал объемакуба оказался равным 12 см. Найти первоначальную длину ребер. Ответ: 2 см.

34. Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным см. Найти первоначальную величину радиуса. Ответ: 3 см.

35. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила . Ответ:.