3. Геометрический и физический смысл производной

Геометрически производная функциипредставляет угловой коэффициенткасательной к графику этой функции в точке.

Если на плоскости задана точка и кривая как график явной функциито:

- уравнение касательной в точке с абсциссой ,

, - уравнение нормали в точке с абсциссой. Если, то уравнения касательной и нормали имеют вид соответственно:,.

При параметрическом задании кривой уравнения касательной и нормали записываются соответственно:

, ,

, .

Угол между кривыми ив точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым в точке. Этот угол находится по формуле:.

Если в точке производная не определена, но функция имеет различные односторонние пределыи, то в этой точке графика функции существуют две различные с соответствующими угловыми коэффициентами,односторонние касательные, составляющие угол, а точка называетсяугловой.

Если , т.е. функция имеет бесконечную производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом случае график функции имеет вертикальную касательную (точка перегиба).

Если в точке функция имеет бесконечные односторонние производные разных знаков, то график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (асимптоты).

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в моментесть производная пути по времени:, ускорение в моментесть.

При движении точки по окружности: угловая скорость вращения в данный момент равна производной от угла поворотапо времени:. Угловое ускорение точки есть первая производная от угловой скоростиили вторая производная от угла поворота по времени.

Сила тока в данный момент времени равна производной от количества протекшего электричества по времени: .

Химическое истолкование производной. Пусть - концентрация вещества, получаемого в ходе химической реакции в момент времени. Тогда- скорость реакции в момент.

Пример 1. В точках пересечения эллипсов ,найти угол между ними.

Решение: Эллипсы расположены симметрично относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим только первый квадрат координатной плоскости.

Решив систему найдем точку пересечения эллипсов. Из уравнения первого эллипса получаем, т.е.. Следовательно. Аналогично, для второго эллипса получим. По формуле,получим:.

Итак, эллипсы пересекаются в четырех точках под углом , т.е. под углом, равным приблизительно.

Пример 2. Высота снаряда, вылетевшего с начальной скоростьюпод угломк горизонту, изменяется по закону, где- время,- ускорение силы тяжести. В какой момент скорость изменения высоты снаряда над горизонтом равна нулю?

Решение: Вычислим производную функции .

Следовательно, скорость изменения высоты снаряда нал горизонтом равна нулю при .

Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

1. ,.

2. ,. Ответ:,.

3. ,.

4. .

5. к эллипсу ,.

6. ,. Ответ:.

7. ; . Ответ: .

8. , . Ответ: .

9. , . Ответ: .

10. , . Ответ: .

11. , . Ответ:.

12. , . Ответ: .

13. , . Ответ: .

14. Ответ: .

15. . Ответ: .

16. Найти углы, под которыми пересекаются линии, заданные уравнениями и. Ответ:,.

17. Найти угол между кривыми:

a) и. Ответ:.

b) и. Ответ:.

Найти углы, под которыми график функции пересекает ось абсцисс:

18. . Ответ:.

19. . Ответ: В точкахсинусоида

пересекает ось абсцисс под углом .

20. . Ответ: В точкахугол,

в точках угол.

21. . Ответ:.

22. .

Ответ: в точке угол, в точкеугол.

23. . Ответ:.

24. . Ответ:.

25. .

Ответ: в точках иугол,

в точке угол.

26. .

Ответ: в точке угол,

в точке угол.

27. Ответ:.

28. Ответ: 0.

29. .

Ответ: в точке угол,

в точке угол.

Найти точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс:

30. . Ответ: (-1;14), (2;-13).

31. . Ответ: (0;-1), (1;-6), (-2;-33).

32. . Ответ: (-1;-58), (1;54), (7;-2106).

33. . Ответ: .

34. . Ответ: .

35. . Ответ: .

36. . Ответ: .

37. Ответ: .

38. . Ответ: .

39. На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой. Ответ:.

40. Найти точку линии , в которой касательная перпендикулярна прямой, составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж. Ответ:.

41. Точка движется вдоль прямой по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент времени.

Ответ: .

42. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан формулой . Найти угловую скорость и ускорение при.

Ответ: угловая скорость равна ,

а угловое ускорение не зависит от времени и равно .

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:

43. , . Ответ: .

44. , . Ответ: .

45. , . Ответ: .

46. , . Ответ: .

47. , . Ответ: .

48. , . Ответ: .

49. , . Ответ: .

50. , . Ответ: .

51. и . Ответ: .

52. и . Ответ: .

53. Найти уравнение нормали к эллипсу в точке.Ответ: .

54. Найти уравнение нормали к гиперболе в точке.

Ответ:.

Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:

55. Спирали Архимеда . Ответ:.

56. Гиперболической спирали . Ответ:.

57. Логарифмической спирали . Ответ:.

58. Кардиоиды . Ответ:.

59. Дуги лемнискаты Бернулли . Ответ:.

60. Точка движется по параболе так, что ее абсцисса изменяется по закону(измеряется в метрах,- в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения? Ответ:.

61. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5. Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50? Ответ: 0,05.

62. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения. Ответ: .

63. По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения: и. С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи (измеряется в метрах,- в секундах)? Ответ:.

64. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3. Определить скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4м.

Ответ: .

65. Под каким углом пересекаются кривые ив точке (1;1)? Ответ:.

66. Определить среднюю скорость изменения функции на отрезке. Ответ:.

67. Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой . Ответ:.

68. Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде в точке с полярным углом.

Ответ: ,.

69. Точка движется по спирали Архимеда так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равнав секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса, если. Ответ:.