- •Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление
- •Свойства:
- •Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
- •2. Специальные приемы дифференцирования
- •2.1. Логарифмическое дифференцирование
- •2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Правило Лопиталя
- •Найти пределы следующих функций:
- •Самостоятельная работа
- •Примерный вариант контрольной работы
- •8. Возрастание и убывание функций
- •9. Максимум и минимум функции
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •11. Решение задач на максимум и минимум
- •12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •13. Асимптоты кривой
- •14. Исследование функции и построение графиков
- •15. Варианты типового расчета
15. Варианты типового расчета
1 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
а отрезке
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Какие размеры должен иметь прямой круговой цилиндр, поверхность которого равна , чтобы его объем был наибольшим?
2 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ; b) .
3. Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр , наибольшую площадь имеет квадрат.
3 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данную площадь , квадрат имеет наименьший периметр.
4 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Консервная банка объемом должна иметь цилиндрическую форму с дном и крышкой. Каково должно быть отношение диаметра основания цилиндра к его высоте, чтобы на изготовление банки пошло наименьшее количество жести?
5 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высотой 8 см вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Какова должна быть высота прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь?
6 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Полотняный шатер объемом имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна.
7 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и углом в 30вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
8 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Требуется изготовить коническую воронку с образующей L. Какова должна быть высота воронки, чтобы вместимость ее была наименьшей?
9 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Определить размеры прямого открытого бассейна объемом 32 мс квадратным дном так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
10 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Найти высоту прямого кругового конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусатак, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.
11 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ; b) .
3. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, имеющий гипотенузой отрезок .
12 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром , чтобы ее сопротивление на сжатие было наибольшим?
13 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Чтобы по возможности уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, стачиваемая водой, должна быть, возможно, меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является такая, при которой ширина канала превышает вдвое его высоту.
14 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. На оси параболы дана точка на расстоянииот вершины. Найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой.
15 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Найти высоту прямого кругового цилиндра с наибольшим объемом, который может быть вписан в шар радиуса .
16 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Найти высоту прямого кругового конуса с наименьшим объемом, описанного около шара радиуса .
17 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Какова должна быть сторона основания правильной треугольной призмы данного объема , чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
18 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. На прямой, соединяющей два источника света, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся как 64:27, а расстояние между ними равно 35 см.
19 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?
20 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром , с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?
21 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. В прямоугольной системе координат через точку (1;4) проведена прямая, пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает наименьшее значение.
22 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром , чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?
23 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Требуется устроить площадку в форме равнобедренного треугольника так, чтобы с двух сторон она была ограничена проволочной сеткой, а третья сторона (основание треугольника) примыкала к длинной каменной стене. Найти размеры треугольника наибольшей площади, если имеется 100 погонных метров сетки.
24 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции, а дно и бока имеют ширину по 100 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?
25 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики:
a) ;b) .
3. Требуется изготовить цилиндрический сосуд заданного объема , открытый сверху. Определить его радиус и высоту так, чтобы поверхность была наименьшей.
26 вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2. Провести полное исследование функций и построить их графики: a) ;b) ; с).
3. Найти высоту прямого кругового конуса с наименьшим объемом, описанного около шара радиуса R.