Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

1 КУРС

2 СЕМЕСТР

1 часть

Дифференциальное исчисление

функций одного переменного

г. БАРНАУЛ

2013 год

Составитель: Исаева М.В.

Данный сборник заданий для практических занятий по математике является составной частью комплекса сборников, направленных на активизацию работы студентов по изучению программы курса.

В сборник включены: программа второго семестра дисциплины ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА», список рекомендуемой литературы, основные положения учебного материала, дополненные задачами с решениями, наборы заданий различной степени сложности по дифференциальному исчислению функции одного переменного

Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством примеров с иллюстрацией методов их решения, позволяют использовать сборник для различных видов обучения, в том числе для самостоятельной работы студентов и для аудиторных занятий.

Для студентов групп СТФ.

Оглавление

Дифференциальное исчисление функции одного переменного……………..………………………………………..……….3

1. Непосредственное дифференцирование…………….......................…….3

- Правила дифференцирования….……..……………………………….3

- Таблица производных элементарных функций……………………....4

2. Специальные приемы дифференцирования……………..........…….............10

2.1. Логарифмическое дифференцирование……………………....…..10

2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно………………..10

2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически……..11

3. Производные высших порядков….......................................................... 12

4. Дифференциал функции ……………………..………………................17

5. Геометрический и физический смысл производной.………..………...22

6. Правило Лопиталя…………………………………….………………....29

7. Примерный вариант контрольной работы …………….………………35

8. Возрастание и убывание функций……………………………….……..35

9. Максимум и минимум функции………………………………………. 38

10. Наибольшее и наименьшее значение функции………………………42

11. Решение задач на максимум и минимум……………………………..44

12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба………………….46

13. Асимптоты кривой……………………………………………………..49

14. Исследование функции и построение графиков……………………..53

15. Варианты типового расчета…………..……………..............................57

Дифференциальное исчисление

ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1. Непосредственное дифференцирование

Производной от функции в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента

.

Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке .

Процесс нахождения производнойназывается дифференцированием функции.

Числа иназываются соответственнолевой и правой производными функции в точке. Для существования производной функциив точкенеобходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производная в этой точке существовали и были равны между собой:.

Правила дифференцирования

1) ;

2);

3);

4);

5);

6),;

7),;

8) если ,, т.е.- сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9) если для функции существует обратная дифференцируемая функцияи, то.

Таблица производных элементарных функций

1) ,,. В частности:;;

2) ,; 3);

4) ,; 5)

6) ; 7);

8) ; 9);

10) ; 11);

12) ; 13);

14) ,; 15),;

16) ,; 17),.

Пример 1. Пользуясь только определением производной, найти :

a) .

Имеем:

.

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Пример 2. Для заданной функции найтии:

1. ,

Имеем и

.

2. ,

3. ,

4. ,

Пример 3. Найти производные ,для функций:

а) .

Находим производную

Вычислим пределы производной слева и справа в точке :

, .

b) , ;

c) ,.

Пример 4. Найти производные функций:

а) ,.

Представим функцию в виде

тогда

Функция не имеет производной в точке,

так как , а.

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

Пример 5. Найти производные:

а) .

Преобразуем функцию к виду, удобному для дифференцирования. Пользуясь основными правилами дифференцирования и таблицей производных, имеем

, .

b) .

По формуле производной произведения двух функций:

.

с) .

По формуле производной частного двух функций:

.

d) .

Упростим логарифмируемое выражение:

.

По правилам дифференцирования имеем:

.

e) Найти производную функции .

Правило дифференцирования сложной функции: ().

Полагая и, имееми. Отсюда, согласно (), получаем.

f) .

Упростим логарифмическое выражение:

.

Дифференцируем как сложную функцию:

f) .

Дифференцируем как сложную функцию:

.

Пример 6. Найти производные гиперболических и обратных к ним функций:

a) (гиперболический синус),

b) (гиперболический косинус),

c) (гиперболический тангенс),

d) (гиперболический котангенс).