ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 1

1. Даны вершины треугольника:, найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3х - 2у - 7 = 0 и х + 3у - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

3. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б)гиперболы; в) параболы. Где А, В - точки, лежащие на кривой, F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось,  - эксцентриситет, у =  kx - уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2с -фокусное расстояние.

4. Записать уравнение окружности, проходящей через вершины гиперболы 12х² - 13у² = 156 и имеющей центр в точке А(0 ; -2).

5. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

6. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке А, чем к точке В:

A( 1; 0 ), B( -2; 0 ).

7. Построить плоские области:

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( -3; 4; -7 ), B( 1; 5; -4 ), C( -5; -2; -14 ), D( -12; 7; -1 )

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной граням ADC и BCA, проходящей через вершину В.

9. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(-4;7; 3) параллельно плоскости x - 4y + 5z - 1 = 0.

10. Доказать параллельность прямых их - 2у + 2z - 8 = 0, x + 6z - 6 = 0.

11. Построить тела, ограниченные поверхностям:

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 2

1. Даны вершины треугольника:, найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Найти проекцию точки А(-6; 10) на прямую, проходящую через точки В( 4; -3) и С( -5; 7).

3. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б)гиперболы; в) параболы. Где А, В - точки, лежащие на кривой, F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось,  - эксцентриситет, у =  kx - уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2с -фокусное расстояние.

a) b=2; F(;0); b) a=7;; c) D: x=5.

4. Записать уравнение окружности, проходящей через вершины гиперболы 4х² - 9у² = 36 и имеющей центр в точке А(0 ; 4)..

5. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

6. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке А, чем к точке В: A( -1; 0 ), B( -1; 3 ).

7. Построить плоские области:

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( -1; 2; -3 ), B( 4; -1; 0 ), C( 2; 1; -2 ), D( 1; -6; -5 ).

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной граням ADC и BCA, проходящей через вершину В.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М₁М₂ перпендикулярно этому отрезку, если М₁(2; 5; 6 ), М₂(-1; 10; 4).

10. Доказать, что прямая параллельна плоскости2x + у - z = 0, а прямая лежит в этой плоскости.

11. Построить тела, ограниченные поверхностям:

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ