alggeom03

Лекция 3: Матрицы и действия над ними

Б.М.Верников, А.Я.Овсянников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

Некоторые новые понятия (1)

Определения и обозначения

Матрицы A = (aij )m k и B = (bij )n ` называются равными, если их размеры совпадают (т. е. m = n, k = `) и элементы, стоящие на соответствующих местах, также совпадают: aij = bij при всех i; j, пробегающих независимо друг от друга значения i = 1; : : : ; m и

j = 1; : : : ; k.

Множество всех матриц размеров m k c элементами из фиксированного множества чисел F будем обозначать через Fm k (в частности, Fn n множество всех квадратных матриц порядка n c элементами из F).

Если в данной матрице зафиксировать какие-либо строки и столбцы и рассмотреть матрицу, образованную элементами, стоящими на пересечении выделенных строк и столбцов, то полученная матрица называется подматрицей исходной матрицы. Матрица A = (aij )m k называется строкой, если m = 1, и столбцом, если k = 1. Строки и столбцы будем обозначать малыми латинскими буквами.

Некоторые типы квадратных матриц

Определения

Пусть A = (aij ) квадратная матрица порядка n. Как отмечалось в лекции 2, элементы a11; a22; : : : ; ann образуют главную диагональ этой матрицы. Элементы an1; an 1 2; : : : ; a1n образуют ee побочную диагональ. Мы говорим, что элемент aij стоит ниже [соответственно выше] главной диагонали квадратной матрицы, если i > j [соответственно i < j]. Квадратная матрица называется верхнетреугольной [соответственно нижнетреугольной], если все ее элементы, стоящие ниже [соответственно выше] главной диагонали, равны 0. Квадратная матрица называется треугольной, если она верхнетреугольная или нижнетреугольная. Как уже говорилось в лекции 2, квадратная матрица называется диагональной, если она верхнетреугольная и нижнетреугольная, т. е. все элементы вне главной диагонали равны 0. Квадратная матрица называется скалярной, если она диагональна и все элементы на ее главной диагонали одинаковы.

Линейные операции. Сложение матриц

Рассмотрим линейные операции над матрицами: сложение матриц и умножение матрицы на число. Сложение определено только для матриц одинаковых размеров.

Определение

Пусть A = (aij ) и B = (bij ) матрицы из Fm k . Суммой матриц A и B называется матрица, обозначаемая через C = A + B и имеющая вид C = (cij )m k , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B: cij = aij + bij , i = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; k.

не определена.

Умножение матрицы на число

Определение

Произведением матрицы A = (aij )m k и числа t называется матрица таких же размеров, как матрица A, обозначаемая через D = tA и имеющая вид D = (dij )m k , каждый элемент которой получается умножением соответствующего элемента матрицы A на число t: dij = taij , i = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; k.

Например,

Заметим, что

скалярная матрица порядка n с числом a на главной диагонали может быть записана в виде aEn, где En единичная матрица порядка n.

Свойства линейных операций

Свойства линейных операций над матрицами

1)Для любых матриц A; B одинаковых размеров справедливо равенство

A + B = B + A (сложение матриц коммутативно).

2)Для любых матриц A; B; C одинаковых размеров справедливо равенство (A + B) + C = A + (B + C) (сложение матриц ассоциативно).

3)Существует матрица O = Om k размеров m k такая, что для любой матрицы A таких же размеров справедливо равенство A + O = A.

4)Для любой матрицы Am k существует матрица B тех же размеров такая, что справедливо равенство A + B = Om k .

5)Для любых матриц A; B одинаковых размеров и любого числа t

справедливо равенство t(A + B) = tA + tB (умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения матриц).

6)Для любой матрицы A и любых чисел s; t справедливо равенство

(s + t)A = sA + tA (умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел).

7)Для любой матрицы A и любых чисел s; t справедливо равенство s(tA) = (st)A = t(sA).

8)Для любой матрицы A справедливо равенство 1 A = A.

Обоснование свойств линейных операций

Свойства 1 и 2 следуют из соответствующих свойств сложения чисел. В свойстве 3 в качестве Om k следует взять матрицу размеров m k с нулевыми элементами; такая матрица называется нулевой. В свойстве 4 в качестве B можно взять матрицу с элементами, противоположными элементам матрицы A; такая матрица называется противоположной матрице A. Свойства 5–8 обеспечиваются соответствующими свойствами чисел.

Линейная комбинация матриц

Определение

Пусть A1; : : : ; As матрицы размеров m k, t1; : : : ; ts некоторые числа. Матрица t1A1 + + ts As называется линейной комбинацией матриц

A1; : : : ; As с коэффициентами t1; : : : ; ts . Если матрица B равна линейной комбинации матриц A1; : : : ; As с некоторыми коэффициентами, то говорят, что B линейно выражается через указанные матрицы.

Обозначим через Em(i;j)k матрицу размеров m k, у которой элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Такие матрицы называются

матричными единицами размеров m k. Для матрицы A = (aij )m k

справедливо очевидное равенство (в котором используется краткое

Это равенство показывает, что

любая матрица размеров m k линейно выражается через матричные единицы размеров m k.

Умножение матриц

Определение

Пусть A = (aij ) матрица размеров m k, а B = (bij ) матрица размеров n `. Если k 6= n, то произведение AB матриц A и B не определено; если же k = n, то это произведение определено и равно матрице C = (cij ) размеров m `, элементы которой вычисляются по правилу

=

для всех i = 1; : : : ; m и j = 1; : : : ; `.

Иными словами,

Элемент произведения матриц A и B, стоящий в i-той строке и j-том столбце, равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B.

Часто это правило формулируют более кратко:

cij равно произведению i-той строки матрицы A на j-тый столбец матрицы B.

Примеры вычисления произведения матриц

Из примеров 2)–5) видно, что

умножение матриц не коммутативно,

т. е. не для любых матриц A и B справедливо равенство AB = BA. Более того, как видно из примеров 2) и 3), одно из этих произведений может быть определено, а другое нет.