alggeom03

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц

1)Для любых матриц A = (aij )m k , B = (bij )k `, C = (cij )` n справедливо равенство (AB)C = A(BC) (умножение матриц ассоциативно).

2)Для любых матриц A = (aij )m k , B = (bij )m k , C = (cij )k `

справедливо равенство (A + B)C = AC + BC (умножение матриц дистрибутивно относительно сложения по первому аргументу).

3)Для любых матриц A = (aij )m k , B = (bij )k `, C = (cij )k `

справедливо равенство A(B + C) = AB + AC (умножение матриц дистрибутивно относительно сложения по второму аргументу).

4)Для любых матриц A = (aij )m k , B = (bij )k ` и любого числа t справедливы равенства (tA)B = t(AB) = A(tB).

5)Для любой матрицы A = (aij )m k и единичных матриц Ek ; Em справедливы равенства AEk = EmA = A.

Обоснование свойств умножения матриц

Докажем свойство 1. Нам понадобится следующее свойство суммирования:

Пусть AB = D = (dij )m `, BC = F = (fij )k n, (AB)C = G = (gij )m n и

A(BC) = H = (hij )m n. Возьмем в матрице G произвольный элемент gij и преобразуем его:

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Свойства 2–5 получаются из определения произведения матриц рассуждениями, аналогичными применявшимся при доказательстве свойства 1.

Матричная запись системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

8

> a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1;

>

< a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2; (3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

>

>

: ak1x1 + ak2x2 + + aknxn = bk :

Рассмотрим матрицу A = (aij )k n, состоящую из коэффициентов при неизвестных в этой системе (напомним, что она называется основной матрицей этой системы), столбец

0x11

x = B ... C @ A

xn

неизвестных и столбец

0b11

b = B ... C @ A

bk

свободных членов. Тогда система (3) записывается в матричном виде так:

Значение многочлена от матрицы

Рассмотрим квадратные матрицы порядка n. Их можно складывать и умножать, в частности возводить в степень с натуральным показателем. Пусть A квадратная матрица порядка n, а

f (x) = a0xr + a1xr 1 + + ar 1x + ar

многочлен степени r. Значение многочлена f от матрицы A определяется так:

f (A) = a0Ar + a1Ar 1 + + ar 1A + ar En:

Матричные многочлены

Можно рассматривать и матричные многочлены вида

F(x) = A0xr + A1xr 1 + + Ar 1x + Ar ;

где A0; A1; : : : ; Ar фиксированные квадратные матрицы порядка n. Значение такого многочлена от квадратной матрицы B порядка n вычисляется по формуле

F(B) = A0Br + A1Br 1 + + Ar 1B + Ar :

Рассмотрим пример. Пусть

Транспонирование матриц

Определение

Пусть A = (aij ) матрица размеров m k. Матрицей, транспонированной к A, называется матрица B = (bij ) размеров k m, определяемая равенством bij = aji для всех i = 1; 2; : : : ; k и j = 1; 2; : : : ; m. Иными словами, матрица B получается из A заменой строк на столбцы: 1-я строка матрицы A становится 1-м стобцом матрицы B, 2-я строка матрицы A 2-м стобцом матрицы B и т. д. Матрица, транспонированная к A обозначается через A>.

Например:

Свойства транспонирования

Определение

Говорят, что размеры матриц A = (aij )m k и B = (bij )n ` согласованы, если k = n, т. е. число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. (Отметим, что здесь важен порядок перечисления матриц A, B: размеры A и B могут быть согласованы, а размеры B и A не согласованы.)

Из определения операций над матрицами легко вывести следующие свойства, показывающие, как транспонирование взаимодействует с этими операциями.

Свойства транспонирования матриц

1)Для любых матриц A; B одинаковых размеров справедливо равенство

(A + B)> = A> + B>.

2)Для любой матрицы A и любого числа t справедливо равенство

(tA)> = tA>.

3)Для любых матриц A; B согласованных размеров справедливо равенство (AB)> = B>A>.

4)Для любой матрицы A справедливо равенство (A>)> = A.