de1

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЪЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА

кафедра математического анализа

В. Ф. Зайцев, Л. В. Линчук

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ)

Научное издание

Часть I

Санкт-Петербург 2008

Рецензенты: д. ф-м. н. профессор Будаев В. Д.

д. ф-м. н. профессор Флегонтов А. В.

Зайцев В. Ф., Линчук Л. В. Дифференциальные уравнения (структурная теория), часть I. – СПб., 2008. – 128 с. – ISBN 978–5–94777–125–1

Монография предназначена для студентов, магистрантов и преподавателей и может быть использована в качестве учебного пособия при изучении дисциплин, связанных с решением дифференциальных уравнений в самых разнообразных отраслях прикладной науки. Оно также будет полезно при подготовке к семинарам, факультативным занятиям и при самостоятельном изучении вопросов данной тематики. Материал монографии может быть широко использован на лекциях и практических занятиях по курсам дифференциальных уравнений и математической физики.

Целью настоящей монографии является изложение основных принципов и методов поиска точных аналитических решений различных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), а также изучение современных направлений развития этой отрасли знаний.

Ил. 13. Библиогр. 26 назв.

ISBN 978–5–94777–125–1 c Зайцев В. Ф., Линчук Л. В., 2008c ООО “Книжный Дом”, 2008

Предисловие авторов

Настоящая монография посвящена почти исключительно структурной теории дифференциальных уравнений, основная задача которой – поиск точных решений уравнений в аналитическом виде. По этой причине эта книга не может заменить классические учебники, в которых д´олжное место уделено и теоремам существования и единственности, и основам качественной теории, и применению численных методов, и необходимым св´едениям из аналитической теории, а также ряду специальных вопросов. Зато авторы надеются, что эта книга научит читателя интегрировать многие уравнения в замкнутом виде, не ограничиваясь лишь классическими случаями, которые в существующих учебниках описаны довольно шаблонно.

Задача поиска точного решения в замкнутом виде остается чрезвычайно актуальной несмотря на бурное развитие численных и качественных методов исследования решений и их реализации на ЭВМ. Причина столь явного, казалось бы, анахронизма заключается прежде всего в потребностях прикладной науки, в частности, при решении задач моделирования. Можно было бы привести сотни примеров предпочтительности точного аналитического решения любому другому, но мы остановимся лишь на наиболее ярких примерах. К ним осносятся:

1)проблемы нелинейной физики, приводящие к уравнениям, имеющим неединственное решение (достаточно рассмотреть некоторые краевые задачи теории пограничного слоя);

2)многопараметрические задачи, приемлемая визуализация которых на современных ЭВМ невозможна;

3)задачи, существенной составной частью которых является нечисловая (например, симметрийная) информация.

Поэтому не случайно на грани XX и XXI веков снова возник острый интерес к поиску новых методов интегрирования уравнений, количество публикаций по этой теме за рубежом исчисляется сотнями. Дополнительную аргументацию в пользу точных решений можно найти в книгах одного из авторов [1]–[5].

Данная книга построена по принципу “от простого к сложному” и предназначена студентам, магистрантам, аспирантам и специалистам по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Первая часть содержит основные принципы и рациональную логику рассуждений, позволяющие научиться решать многие уравнения, изучив лишь краткий курс теории. Естественно, из краткости курса следует невозможность включения в него сколько-нибудь серьезной теории. В следующих частях книги основные принципы будут обосновываться и дока-

3

зываться, читатель познакомится с классическим и современным групповым анализом, причем будут рассматриваться как обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), так и уравнения в частных производных (УЧП).

Естественно, авторам потребуются и некоторые результаты других направлений теории дифференциальных уравнений. В этом случае они будут приводиться без доказательств с соответствующими ссылками.

Материал этой монографии широко используется одним из авторов при чтении лекций и проведении практических занятий по курсам дифференциальных уравнений, математической физики и математических моделей в естествознании на математическом факультете РГПУ им. А. И. Герцена. Это позволяет познакомить студентов с потребностями современных прикладных наук и с новыми идеями поиска новых методов, многие из которых еще ждут своих исследователей.

Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность А. А. Петрушенко за неоценимую помощь в подготовке настоящего издания.

4

Введение

0.1.Основные определения

1.Элементы классификации. Дифференциальным уравнением называется любое уравнение, содержащее производные от искомой функции. Если искомая функция – функция одной переменной, уравнение называется обыкновенным дифференциальным. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Так, уравнение

y′′(x) = f (x)y(x) + A[y(x)]−3

является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнения, в которых искомая функция и (или) ее производные входит при различных значениях аргумента, называются функциональнодифференциальными, например

y′(x) + f (x)y(x) − g(x)y(sin x) = 0.

В частном случае, когда все аргументы являются линейными функциями x, такие уравнения называются уравнениями с отклоняющимся аргументом1, например

y′′(x) + ay′(x) + by(x) + cy(x − τ ) = 0.

Если искомая функция – функция нескольких независимых переменных, и в уравнение входят частные производные искомой функции, уравнение называется уравнением в частных производных, например

Здесь искомой функцией является функция трех переменных u(x, y, z). В последнее время стали востребованными дифференциальные урав-

нения, искомая переменная в которых является не функцией, а функционалом Φ(x, y, y′, . . .), где все переменные x, y, y′, . . . считаются независимыми. Они имеют вид

Fn(x, y, y′, . . .)Dxn[Φ] + . . . + F1(x, y, y′, . . .)Dx[Φ] + F0(x, y, y′, . . .)Φ = 0,

где Dx – оператор полной производной

Dx = ∂x∂ + y′ ∂y∂ + y′′ ∂y∂ ′ + . . . .

1Различные классы уравнений этого типа называются уравнениями с запаздыванием, уравнениями с опережением, уравнениями нейтрального типа

5

Такие уравнения называются уравнениями в полных производных. Их свойства во многом аналогичны свойствам обыкновенных дифференциальных уравнений.

В нашем кратком обзоре мы не затрагиваем функциональные, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения – этот материал выходит далеко за рамки интересующих нас вопросов. Настоящая монография посвящена только обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ), и лишь в качестве вспомогательных будут появляться линейные уравнения в частных производных первого порядка, тесно связанные с ОДУ.

Мы будем рассматривать ОДУ как в нормальной форме (т. е. разрешенной относительно старшей производной), например

определяет решение исходного уравнения y(x), если подстановка выражения (0.1.3) обращает это уравнение в верное тождество. Нетрудно видеть, что геометрически (0.1.3) представляет собой кривую на плоскости (x, y). Поэтому форма (0.1.3) называется также интегральной кривой уравнения.

2. Область применения дифференциальных уравнений. В настоящее время дифференциальные уравнения возникают как в различных областях математики, так и во всех без исключения отраслях фундаментальной и прикладной науки (см., например, [1, 2, 6]). Классическими примерами являются:

1.Геометрические построения, например, поиск кривых на плоскости, обладающих заданными дифференциальными свойствами [7].

2.Задачи механики (хорошо известно, что путь x(t), скорость x˙ (t) и ускорение x¨(t) связаны дифференциальными соотношениями, и основные законы механики легко можно записать в виде дифференциальных уравнений).

3.Задачи математической физики. Здесь следует сделать оговорку – многомерные модели представляют собой, как правило, уравнения в частных производных. Однако интерес представляет не любое решение, а вполне конкретное, удовлетворяющее некоторым краевым и начальным условиям и к тому же не противоречащее принципам симметрии и теории размерности. Поэтому ищутся решения “стандартных” типов (волновые, автомодельные, с разделенными перемен-

6

ными), а они удовлетворяют уже обыкновенным дифференциальным уравнениям, полученным из исходных соответствующей редукцией.

3. Теоремы существования и единственности. Практически в любом учебнике по дифференциальным уравнениям теоремы существования и единственности решения играют ключевую роль. Они являются фундаментом построения содержательной теории и позволяют исчерпывающе оценить корректность постановки задачи. Доказательства теорем существования и единственности дают нам обоснование и алгоритм некоторых приближенных методов, однако для поиска конкретного точного решения в аналитической форме они, по существу, бесполезны. В структурной теории дифференциальных уравнений распространен другой принцип – конструктивно полученное решение предъявляется. При этом подразумевается, что аналитическая запись решения позволяет напрямую подставить его в исследуемое уравнение, выполнить проверку и изучить все его свойства. Заметим также, что аналитически заданную функцию мы, как правило, можем считать бесконечно-дифференцируемой во всех точках области определения, за исключением, быть может, некоторого множества меры нуль.

Тем не менее мы приведем формулировки (без доказательств) наиболее важных теорем, утверждения которых нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема Пикара (для уравнения n-го порядка). Предположим, что правая часть уравнения

7

определенное и непрерывное вместе со своими производными до n-го по-

Частный случай этой теоремы дает аналогичные условия для уравнения первого порядка (0.1.1), модификация теоремы формулируется и для нормальной системы ОДУ. Следующую теорему мы сформулируем для уравнения первого порядка (0.1.1), хотя практически в той же формулировке она справедлива и для нормальных систем.

Теорема Пеано. Пусть правая часть уравнения (0.1.1) определена и непрерывна в замкнутой области G(x, y). Тогда через всякую внутреннюю точку этой области проходит хотя бы одна интегральная кривая уравнения (0.1.1).

Замечание 1. Условия теоремы Пеано слабее, чем теоремы Пикара – не требуется выполнение неравенства Липшица (на практике обычно проверяется существование частных производных ∂f∂y , ∂y∂f′ . . .). Зато теорема Пеано не гарантирует единственности решения задачи Коши.

Следующая теорема, напротив, имеет более сильные условия, чем теорема Пикара.

Теорема Коши. Если правая часть уравнения (0.1.4) голоморфна относительно совокупности всех своих аргументов в окрестности начальных данных, т. е. представима рядом Тейлора по всем своим аргументам, сходящимся в области

то существует единственное решение, голоморфное в окрестности точки x = x0 и удовлетворяющее начальным условиям (0.1.5), т. е. решение вида

y′′

y = y0 + y0′ (x − x0) + 2!0 (x − x0)2 + . . .

8

причем ряд заведомо сходится в некоторой области, лежащей строго внутри Q.

Замечание 2. Несмотря на то, что теорема Коши дает лишь достаточные условия, она более конструктивна, чем теоремы Пикара и Пеано. Коэффициенты ряда (0.1.6) cs могут быть найдены подстановкой ряда в уравнение (0.1.4) с последующим приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x − x0.

Приведем формулировки еще двух теорем, которые нам понадобятся в дальнейшем. Это теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра и начальных условий.

функция f (x, y, λ) определена, непрерывна по всем аргументам и удовлетворяет условию Липшица по переменной y в области

R : {|x − x0| 6 a, |y − y0| 6 b, λ1 6 λ 6 λ2}.

Тогда задача Коши для уравнения (0.1.7) имеет единственное решение, непрерывное как функция параметра λ равномерно относительно x в этой области.

Теорема 2. Если правая часть уравнения (0.1.1) в области

R : {|x − x0| 6 a, |y − y0| 6 b}

удовлетворяет условиям теоремы Пикара, то решение y = y(x; x0, y0) является непрерывной функцией начальных данных (x0, y0) равномерно относительно x в этой области.

Заметим, что все приведенные теоремы устанавливают существование и ряд свойств решения задачи Коши или задачи с начальными условиями. Тем не менее на практике часто встречаются и другие задачи

– краевые, в них условия ставятся как минимум в двух различных точках. Следует учесть, что теоремы, помещенные в настоящий раздел, не распространяются на краевые задачи: можно привести многочисленные примеры того, что для линейного уравнения с постоянными коэффициентами решение простейшей краевой задачи может отсутствовать. Если решение существует, то оно может быть одно, а может быть и несколько решений вплоть до бесконечного их множества.

4. Представление точного решения. Доказательство существования и единственности решения ОДУ, к сожалению, редко помогает найти само решение. Часто говорят, что “уравнение не интегрируется”, хотя нет сомнений, что оно удовлетворяет всем условиям теоремы Пикара.

9

Здесь мы сталкиваемся с неким дуализмом понятий – существование решения еще не означает, что мы можем найти это решение в аналитическом виде. Задача поиска решения оказывается, как правило, значительно сложнее доказательства его наличия.

Практически до конца XIX века точным аналитическим решением считалось решение в квадратурах, т. е. представление решения через алгебраические функции с добавлением операции обращения, экспоненты и конечного числа символов неопределенного интеграла. Теоретическая возможность представления решения в квадратурах изучается в особом разделе математики – дифференциальной алгебре. По существу, это аналог теории Галуа для дифференциальных уравнений [8].

Позже оказалось, что набор допустимых функций необходимо пополнить специальными функциями – решениями линейных ОДУ с переменными коэффициентами. Их появление во многом явилось следствием востребованности задач классической математической физики. Возникает естественный вопрос – нельзя ли “объявить” решение некоторого (нелинейного) уравнения “специальной” функцией и поступать так всякий раз, когда в качестве модели у нас появляется новое уравнение (ведь количество разумных моделей все-таки ограничено!). При положительном ответе на этот вопрос острая необходимость в структурной теории дифференциальных уравнений, казалось бы, отпадает, хотя нельзя игнорировать другие аспекты применения точных решений. Тем не менее ответ отрицательный – специальной функцией можно объявить лишь решение уравнения, у которого отсутствуют подвижные критические особые точки, так как в противном случае эту функцию невозможно будет табулировать. Проблема поиска уравнений, лишенных подвижных критических особых точек, для (нелинейных) уравнений 2-го порядка с алгебраической правой частью была решена французским математиком Пенлеве (Painlev`e) [9]. Он нашел 50 (!) классов таких уравнений, но неприводимых (т. е. не линеаризуемых и не допускающих понижение порядка) оказалось всего 6. Решения этих шести уравнений (их называют шестью трансцендентами Пенлеве) хорошо изучены и используются для представления точных решений других уравнений [2].

5. Общее, частные и особые решения. Общим решением

уравнения (0.1.4) мы будем называть n-параметрическое семейство кривых на плоскости

которое удовлетворяет следующим условиям.

1.При подстановке в уравнение (0.1.4) обращает его в тождество (выражение (0.1.8) рассматривается как функция y(x), заданная неявно).

10