de1

Для последующего расщепления необходимо конкретизировать вид функции F . Пусть, например, F = F (x, y). Тогда

S = ψ4(x, y)(y′)4 + ψ3(x, y)(y′)3 + ψ2(x, y)(y′)2 + ψ1(x, y)y′ + ψ0(x, y)

(заметим, что выражение для S будет иметь такой же вид и в случае полиномиальной зависимости F от y′ – вплоть до кубической включительно – с той лишь разницей, что нижеследующая определя.щая система будет другой). После расщепления по степеням y′ получаем систему из десяти уравнений:

81

после расщепления по y следуют три уравнения для определения пяти функций – σ1, σ2, σ3, R и новой функции σ0(x) (свободный член ψ0).

ψ1 = η(x) 8ay2 + by + c −1/4 + 2σ2′ y − σ1′

82

Z

− (Ax + B)(αy2 + βy + γ)−1/4y′ + A (αy2 + βy + γ)−1/4dy = C,

а интегрирующий множитель

R2 = (αy2 + βy + γ)y′′ − 14 (2αy + β)(y′)2.

2. Уравнения 4-го порядка. Так как алгоритм совершенно анологичен рассмотренным выше, ограничимся некоторыми частными случаями. Пусть уравнение имеет вид

а интегрирующий множитель не зависит от третьей производной, т. е. первый интеграл линеен по старшей производной

P = R(x, y, y′, y′′)y′′′ + Q(x, y, y′y′′).

Расщепление по третьей производной дает

R = R(x, y, y′),

Q = −12 Ry′ (y′′)2 − (Ryy′ + Rx)y′′ + S(x, y, y′).

83

Дальнейшее расщепление определяющего уравнения (по второй производной) приводит к конкретизации вида функций R и S:

R = r(x)y′ − 32r′(x)y + ϕ(x),

ωy − 32 (rIV + αr′′)y + ϕ′′′ + αϕ′ − βry + rF = 0,

ωx + 32βr′y2 − 32 r′yF + ϕF = 0;

условие совместности для них дает линейное уравнение с частными производными 1-го порядка для определения функции F :

ϕ, Ψ – произвольные функции своих аргументов, r = r(x) определяется формулой (2.4.7). Интегрируя последнее слагаемое в каждом из подинтегральных выражений, окончательно получим

F = βy + F1,

84

а исходное уравнение (2.4.6) принимает вид

yIV + αy′′ − F1(x, y) = 0.

При α = 0 в силу (2.4.7) rV = r′′′ = 0, поэтому

Z

F1 = r−5/2 Ψ(z) − r3/2ϕIVdx ,

r = C1 + C2x + C3x2,

аргумент z определяется формулой (2.4.9).

Рассмотрим теперь случай F = F (y). Тогда уравнение (2.4.8) становится обыкновенным дифференциальным (с параметром x, который необходимо исключить из окончательного выражения). Общее решение имеет

Так как Fx = 0, все входящие в это выражение коэффициенты должны быть константами. Ввиду того, что величина

2ϕ

γ = 3r′

соответствует сдвигу y → y − γ, можно без ограничения общности поло-

85

Заметим, что выражение (2.4.11) определяет три первых интеграла, так как C1, C2, C3 – произвольные константы, причем один из этих интегралов

– автономный (при C1 = 1, C2 = C3 = 0).

Б. α 6= 0. Тогда из условия Fx = 0 получаем связь между β и α и,

Это выражение, как и (2.4.11), определяет три первых интеграла, один из которых – автономный.

В. r′ = 0, т. е. r = const. Тогда R = y′, F = F (y) – произвольная функция. Первый интеграл имеет вид

поэтому не приводит к принципиально новому результату.

3. О методах поиска и свойствах первых интегралов. Приведенныые выше выкладки показывают, что для любого уравнения порядка выше первого всегда существует простой регулярный алгоритм поиска первого интеграла с заданной зависимостью от старшей производной. Единственным недостатком этого алгоритма является то, что результат является непрогнозируемым, т. е. подстановка найденных выражений в последнее уравнение определяющей системы может дать тривиальный первый интеграл P = C.

Поэтому (как это очевидно из приведенных выше примеров) в ряде случаев перспективным оказывается решение обратной задачи, т. е.

86

перечисление всех уравнений исследуемого класса, допускающих первый интеграл с заданной зависимостью от старшей производной. При этом, как правило, функция F удовлетворяет линейному уравнению с частными производными первого порядка, общее решение которого может быть легко найдено, либо система линейных уравнений с частными производными относительно F и нескольких вспомогательных функций (в этом случае возникающая система – переопределенная).

Отметим некоторые элементарные свойства первых интегралов:

А. Если P – первый интеграл, то Φ(P ) (где Φ – произвольная дифференцируемая функция) – тоже первый интеграл того же уравнения. Поэтому поиск первого интеграла (в отсутствие дополнительной информации) следует начинать с простейщего предположения – линейности зависимости первого интеграла от старшей производной.

Б. Первый интеграл уравнения (2.2.1) может рассматриваться как дифференциальное уравнение порядка (n − 1), имеющее то же решение, что и исходное уравнение (с дополнительной связью между константами). Это эквивалентно понижению порядка исходного уравнения на единицу.

Если первый интеграл содержит k независимых произвольных констант (не входящих в исходное уравнение), то, по существу, мы имеем k независимых первых интегралов; последовательно исключая из них старшие производные, получим уравнение порядка (n − k), что эквивалентно понижению порядка исходного уравнения на k единиц, и решение его совпадает с решением исходного уравнения (с учетом сделанного выше замечания). Так, порядок уравнений (2.4.10) и (2.4.12) с помощью систем трех первых интегралов (2.4.11) и (2.4.13) может быть понижен на три единицы.

2.5.Общие свойства линейных уравнений

Линейным однородным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

Очевидно, если Fn(x) =6 0, деление на коэффициент при старшей производной приводит уравнение (2.5.1) к форме линейного однородного уравнения, разрешенного относительно старшей производной

В дальнейшем мы будем пользоваться обеими формами. Отметим некоторые общие свойства линейных уравнений:

87

1.Если y1 = y1(x) – частное решение однородного уравнения (2.5.2), то y = Cy1, где C – произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.

2.Если y1 = y1(x) и y2 = y2(x) – частные решения однородного уравнения (2.5.2), то y = y1 + y2 тоже является решением этого уравнения.

3.Из свойств 1, 2 следует, что множество решений однородного линейного уравнения является линейным пространством, так как если y1, y2, . . ., ym – частные решения уравнения (2.5.2), то

m

X

y = Ckyk,

k=1

где C1, . . . , Cm – произвольные постоянные, тоже является решением этого уравнения.

Совокупность n линейно независимых решений

однородного линейного уравнения (2.5.2) называется фундаментальной системой решений (ФСР) данного уравнения. Для того, чтобы решения (2.5.3) были линейно независимы на некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы ни в одной точке рассматриваемого интервала не обращался в нуль определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n − 1 включительно:

Этот определитель называется определителем Вронского или вронскианом. Справедлива формула Остроградского–Лиувилля

из которой следует, что если вронскиан обращается в нуль в одной точке некоторого интервала, то он равен нулю во всех точках этого интервала, и наоборот, если вронскиан не равен нулю хотя бы в одной точке некоторого интервала, то он отличен от нуля во всех его точках. Отметим также, что если в исходном уравнении (2.5.2) коэффициент при “предстаршей”

88

производной y(n−1) равен нулю, вронскиан равен константе (этот факт “неявно” использовался в п. 2.3).

Если система функций (2.5.3) является ФСР, то общим решением уравнения (2.5.2) будет

n

X

Замечание. Если рассматривать форму (2.5.1), то следует учесть, что в точках, в которых Fn(x) = 0, следствие из формулы (2.5.4) неверно. В этих точках вронскиан фундаментальной системы решений может обращаться в нуль. Формально это объяснимо тем, что в этих точках обращается в нуль коэфициент при старшей производной, т. е. рассматриваемое уравнение вырождается в уравнение порядка n − 1 (или ниже, если в нуль обращаются и коэффициенты при следующих по старшинству производных) [12]. Такие точки называются особыми, поведение решения в особых точках изучает аналитическая теория дифференциальных уравнений (введение в эту теорию рассматривается в главе 3).

Пример 6. Рассмотрим уравнение

x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0.

Легко убедиться, что частными решениями являются функции y1 = x и y2 = x2. Они, очевидно, составляют фундаментальную систему решений исходного уравнения. Вронскиан W (x) = x2 отличен от нуля во всех точках, исключая точку x = 0.

2.6.Простейшие преобразования линейных уравнений

Внастоящем разделе мы рассмотрим несколько полезных преобразований линейных однородных уравнений. Их применимость никоим образом не зависит от порядка рассматриваемого уравнения, поэтому, во избежание громоздких выкладок, мы проиллюстрируем действие этих преобразований на примере линейного однородного уравнения 2-го порядка

Очевидно, любое линейное уравнение остается линейным при применении линейного же преобразования – преобразования Куммера–

Лиувилля

Таким образом, применение этого преобразования полностью соответствует первому принципу рациональной логики преобразований. В результате

89

этого преобразования уравнение (2.6.1) приводится к виду

дает на классе уравнений (2.6.1) группу эквивалентности с двухфункциональным произволом. В ряде случаев достаточной оказывается подгруппа этой группы с ψ ≡ t. Тогда преобразование (2.6.2) можно записать в виде

Отметим два важных частных случая этого преобразования.

1. Коэффициент при первой производной в уравнении (2.6.5) обращается в нуль, если положить 2ϕ′ + f1ϕ = 0, т. е.

Таким образом мы приходим к форме, которую называют канонической

u′′ = R(x)u.

2. Если потребовать, чтобы последний коэффициент уравнения (2.6.5) обратился в нуль, оказывается, что функция ϕ(x) должна удовлетворять исходному уравнению. Иными словами, мы должны знать частное решение исходного уравнения. В этом случае преобразование (2.6.4) при-

водит к уравнению

ϕu′′ + (2ϕ′ + f1ϕ)u′ = 0.

Так как искомая функция u(x) не входит в уравнение явно, его порядок понижается подстановкой u′(x) = w(x), и мы получаем линейное уравнение 1-го порядка, которое, как мы знаем, легко интегрируется. Таким образом, для интегрирования линейного уравнения 2-го порядка достаточно знать одно ненулевое частное решение.

В заключение приведем еще одну группу эквивалентности, которая, в отличие от непрерывной группы, порождаемой преобразованием Куммера–Лиувилля, является дискретной и к тому же не точечной. Поделим уравнение (2.6.1) на f0(x), полагая, что f0(x) 6= 0 и запишем его в виде

90