de1

Продифференцировав (2.6.6) почленно по x, получаем новое уравнение, которое не содержит явно неизвестную функцию

g2(x)y′′′ + [g2′ (x) + g1(x)] y′′ + [g1′ (x) + 1] y′ = 0,

следовательно, его порядок может быть понижен на единицу подстановкой y′(x) = u(x). В результате мы получаем снова линейное уравнение

Если мы знаем решение уравнения (2.6.7), то легко можно найти и решение исходного: Z

y(x) = u(x) dx.

Это преобразование представляет собой преобразование Беклунда (дифференциальную подстановку), является простейшим примером

RF -пары [5] и широко применяется для вывода различных формул теории специальных функций (например, правил дифференцирования).

Подчеркнем еще раз, что все преобразования, указанные в данном разделе, применимы к линейным однородным уравнениям любого порядка.

2.7.Неоднородные линейные уравнения. Метод Лагранжа

Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение n-го порядка

Основной метод решения неоднородных линейных уравнений развивает, по существу, подход, который мы использовали при интегрировании линейного неоднородного уравнени 1-го порядка. Пусть известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (2.5.2) – n линейно независимых функций y1(x), y2(x), . . ., yn(x). Тогда для поиска общего решения неоднородного уравнения (2.7.1) достаточно найти хотя бы одно частное его решение y0(x), и общее решение найдется по формуле

n

X

где Ck, k = 1, n – произвольные постоянные.

Предположим, что частное решение неоднородного уравнения имеет ту же структуру, что и общее решение однородного (2.5.5) с тем лишь отличием, что произвольные постоянные сами по себе являются функциями

91

x, т. е.

n

X

Так как нам надо найти одну функцию (y0), а в решении (2.7.3) имеется n неизвестных функций, то n − 1 функцию из них мы можем выбрать так, как нам будет удобнее. Иными словами, мы можем наложить n − 1 дополнительное условие. Вычислим первую производную y0

и положим

n

X

Ck′ (x)yk(x) = 0,

k=1

как если бы наши функции Ck(x) в действительности являлись бы константами. Далее, вычисляем вторую производную

y0′′(x) = Ck(x)yk′′(x) + Ck′ (x)yk′ (x)

и полагаем

n

X

Ck′ (x)yk′ (x) = 0.

k=1

Указанная процедура повторяется до вычисления производной порядка n − 1 включительно. После вычисления последней ( n-ой) производной подстановка вычисленных производных в исходное уравнение (2.7.2) дает

k=1

откуда (в силу того, что все yk – частные решения) следует, что

n

X

Ck′ (x)yk(n−1)(x) = h(x).

k=1

Таким образом, для нахождения Ck(x) мы получаем систему линейных

92

Эта система всегда имеет единственное решение, так как она неоднородна, и ее определитель отличен от нуля (определителем в данном случае является вронскиан фундаментальной системы решений однородного уравнения).

Изложенный метод поиска частного решения неоднородного уравнения по известной фундаментальной системе решений однородного называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Заметим, что в ряде случае (например, это касается уравнений с постоянными коэффициентами) можно “угадать” частное решение и обойтись без решения системы (2.7.4). Особенно это актуально для для уравнений высокого порядка (> 4), так как для них далеко не всегда удается выписать решения системы в замкнутом виде.

2.8.Уравнения с постоянными коэффициентами

Простейшими линейными уравнениями являются уравнения с постоянными коэффициентами

где ak k = 1, n – вещественные константы. Вид решения этого уравнения подсказывает простейшая логика – единственной функцией, не меняющейся под действием произвольного количества дифференцирований, является экспонента, поэтому будем искать решение уравнения (2.8.1) в форме

где λ – пока неизвестный параметр. Подстановка выражения (2.8.2) в уравнение (2.8.1) приводит к алгебраическому уравнению степени n

Уравнение (2.8.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (2.8.1). Так как

93

уравнение n-ой степени всегда имеет n корней, формально мы получаем решение в виде

n

X

k=1

где λk – корни уравнения (2.8.3), Ck – произвольные постоянные.

1.Все корни характеристического уравнения вещественны

иразличны. Решение (2.8.4) является общим, так как все показатели экспонент различны, и все частные решения линейно независимы, т. е. образуют фундаментальную систему решений.

2.Среди корней характеристического уравнения есть комп- лексно-сопряженные, все корни различные. Пусть λ и λ – пара комплексно-сопряженных корней α ± iβ. Корню α + iβ соответствует комплексное решение

y = e(α+iβ)x = eαx cos βx + ieαx sin βx.

Разделяя в этом решении вещественную и мнимую части, получаем два вещественных частных решения

Соотвественно, сопряженному корню α − iβ соответствует пара решений

ym = eαx cos βx и ym+1 = −eαx sin βx,

которая, очевидно, линейно зависима с парой (2.8.5). Таким образом, пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения дает пару вещественных решений уравнения. Общее решение имеет следующую структуру:

Здесь αs ± iβs, где s = 1, m – 2m комплексно-сопряженных корня, а λk, где k = 2m + 1, n – вещественные корни.

Заметим, что в этом случае мы впервые сталкиваемся с комплексной функцией вещественной переменной. Естественно, такая функция будет решением, если и только если при подстановке в линейное уравнение с вещественными коэффициентами и вещественная и мнимая части в отдельности будут удовлетворять уравнению. Подобный прием – подстановка в уравнение комплексной функции с последующим “расщеплением” на вещественную и мнимую части – используется и при решении нелинейных уравнений, хотя в этом случае вещественная и мнимая части функции в отдельности могут и не быть решением. Поэтому неудивительно, что вид решения существенно

94

различается в зависимости от области значений параметров, входящих в уравнение (см., например, уравнение Эмдена–Фаулера [2]).

3. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Сначала рассмотрим уравнение 2-го порядка

Корнями характеристического уравнения будут числа

т. е. корень будет кратным, если и только если

q = p2 ,

4

а уравнение (2.8.6) перепишется в виде

y′′ + py′ + p2 = 0.

4

Одно из частных решений нам известно (y1 = exp(−px/2)), но для построения общего решения нам необходимо второе частное решение, линейно независимое с первым. Для его поиска воспользуемся преобразованием п. 2 параграфа 2.6 – в результате подстановки y = exp(−px/2)u(x) получаем уравнение u′′ = 0, решением которого будет линейная функция u = C1x + C2. При C1 = 0 мы получаем уже известное нам решение y1, а при C2 = 0 – второе (линейно независимое) частное решение y2 = x exp(−px/2). Таким образом, общим решением линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами будет

y(x) = (C1x + C2) exp(−px/2).

Довольно просто можно доказать, что справедлив следующий принцип: всякому корню λj кратности s соответствуют s линейно независимых частных решений

eλj x, xeλj x, x2eλj x, . . . xs−1eλj x.

Каждой паре комплексно-сопряженных корней λj = αj ± iβj кратности s соответствуют 2s линейно независимых частных решений

95

Если применять общий метод Лагранжа, то вид правой части уравнения

– функции h(x) – абсолютно безразличен. Однако в некоторых достаточно важных случаях найти частное решение удается с помощью простых правил.

1. Пусть

h(x) = Pm(x)eax,

где Pm(x) – полином от x степени m, которая может быть равна нулю, a – вещественное число. Тогда

a)если a не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (2.8.7) имеет вид

где Qm(x) – полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению после подстановки решения (2.8.8) в исходное уравнение из получающейся при этом алгебраической системы;

b)если a является корнем характеристического уравнения кратности s, то

y1 = xsQm(x)eax,

т.е. частное решение (2.8.8) приобретает множитель xs.

2.Пусть

где a и b – вещественные числа, P1(x) и P2(x) – полиномы от x, старшая степень которых равна m, т. е. один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю. Тогда

a)пусть a + ib не является корнем характеристического уравнения, тогда

y1 = eax (Q1(x) cos bx + Q2(x) sin bx) ,

где Q1(x) и Q2(x) – полиномы степени m с неопределенными коэффициентами (надо всегда брать оба полинома независимо от того, оба полинома присутствуют в правой части (2.8.9) или только один);

b)если число a + ib есть корень характеристического уравнения кратности s, то

y1 = xseax (Q1(x) cos bx + Q2(x) sin bx) ,

т. е. частное решение приобретает множитель xs.

96

2.9.Уравнение гармонических колебаний

Изложенный в предыдущем разделе материал имеет прямое отношение к моделированию различных процессов в механике и физике. Например, рассмотрим модель простейших колебаний – прямолинейное движение материальной точки массы m вдоль оси x. Пусть рассматриваемая точка притягивается к началу координат (предположим, пружиной) силой, имеющей проекцию на ось x, равную −ax (a > 0). Далее, на точку действует сила сопротивления среды (трение), пропорциональная скорости движения точки

Наконец, на точку действует возмущающая сила, направленная по оси x и равная F (t) в любой момент времени t. Заметим, что мы рассматриваем самые простые предположения относительно действующих на точку сил

– сила пружины линейно зависит от растяжения, а сила трения линейна относительно скорости движения. Такая модель оправдана лишь при изучении малых движений точки в окрестности положения равновесия (т. е. точки покоя). Применяя второй закон Ньютона, мы получим дифференциальное уравнение движения, которое при сделанных предположениях оказывается неоднородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами:

иназывается уравнением свободных колебаний. Если же f (t) 6≡0, уравнение (2.9.1) называется уравнением вынужденных колебаний.

Если сопротивление среды отсутствует (т. е. нет трения), то h = = 0,

иуравнение (2.9.2) принимает вид

97

Его характеристическим уравнением будет λ2 + k2 = 0, откуда λ1,2 = = ±ik, и общее решение имеет вид

x = C1 cos kt + C2 sin kt.

После введения вместо C1 и C2 новых произвольных постоянных A и ϕ по формулам C1 = A sin ϕ, C2 = A cos ϕ мы получаем обычную форму записи гармонического колебания

щественные и отрицательные, и общее решение уравнения (2.9.2) имеет

решение будет

x = e−ht(C1 + C2t).

Это тоже апериодическое решение, поведение его на бесконечности не отличается от предыдущего случая. Наконец, если h2 − k2 < 0, то корни

p x = Ae−ht sin k2 − h2 t + ϕ .

Это затухающие гармонические колебания, их амплитуда стремится к нулю при t → +∞.

Теперь рассмотрим уравнение вынужденных колебаний (2.9.1). Согласно общей теории, решение неоднородного уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е. является суперпозицией свободных и вынужденных колебаний. Пусть возмущающая сила – периодическая, а колебания происходят в среде без трения. Тогда уравнение (2.9.1) примет вид

98

Собственные колебания точки описываются уравнением (2.9.3) и являются гармоническими колебаниями (2.9.4). Вид частного решения зависит от того, будет ли число iω корнем характеристического уравнения для (2.9.3), т. е. совпадает ли частота возмущающей силы с частотой собственных колебаний. При совпадении мы имеем резонанс, при несовпадении – нерезонансный случай. Заметим, что для уравнения (2.9.5) применение метода Лагранжа не обязательно – частное решение можно искать согласно правилам, изложенным в конце предыдущего раздела. Для нерезонансного случая получаем

M

x1(t) = k2 − ω2 sin ωt,

т. е. общее решение

M

x = k2 − ω2 sin ωt + A sin(kt + ϕ)

получается в виде наложения гармонических колебаний. В резонансном случае имеем

M

x1(t) = −2k t cos kt,

общее решение имеет вид

x= −M2k t cos kt + A sin(kt + ϕ),

инетрудно видеть, что амплитуда вынужденного колебания неограниченно возрастает при стремлении t → +∞. Схожая картина наблюдается

ив среде с сопротивлением, если трение мало (h < k). Общее решение

уравнения

Здесь при t → +∞ первое слагаемое стремится к нулю, т. е. собственными (затухающими) колебаниями можно пренебречь. Амплитуда A1 вынужденного колебания выражается формулой

99

при малых h амплитуда может стать достаточно большой даже при малых M , так как

M

A1 |k2 − ω2|,

врезонансном случае A1 = 2Mhω .

Взаключение отметим, что более точными (нелинейными) моделями колебательных процессов, переходящими в линейные при малых колебаниях, являются, например: уравнение колебаний маятника

x¨ + k2 sin x = 0,

уравнение Дюффинга

x¨ + k2 sin x = β sin t,

Обсуждение сравнительных свойств различных моделей колебаний маятника приведено, например, в [1].

2.10.Уравнения Эйлера

Уравнением Эйлера называется линейное уравнение следующего ви-

да

Это уравнение инвариантно относительно растяжений по переменной x. Но так как оно линейно, то оно инвариантно и относительно растяжений по переменной y. Поэтому интегрировать уравнение Эйлера можно несколькими различными способами. Наиболее простой – использовать то обстоятельство, что степенная функция xλ всегда является решением уравнения (2.10.1). Проверим это. При подстановке степенной функции в уравнение степени всех слагаемых выравниваются, и после сокращения на xλ мы получаем алгебраическое уравнение

λ(λ−1) . . . (λ−n+1)+an−1λ(λ−1) . . . (λ−n)+ . . . +a1λ+a0 = 0, (2.10.2)

которое, по аналогии с теорией уравнений с постоянными коэффициентами, называется характеристическим. Первое слагаемое представляет собой произведение n сомножителей, поэтому степень уравнения (2.10.2)

100