de1

но с измененным показателем kn − k + 1 вместо n. Учитывая, что параметр k является произвольным, потребуем, чтобы kn − k + 1 = 0, т. е.

1

k = 1 − n.

При этом мы получаем линейное уравнение вида (1.2.1), а именно,

u′ + f (x)u = g(x). k k

Последовательно выполнив обратные преобразования, находим общее решение уравнения Бернулли

(1.3.3) Замечание 1. Преобразование (1.3.2) задает на классе уравнений Бернулли непрерывную группу эквивалентности по параметру n. Нейтральный элемент (преобразование при k = 0) соответствует тожде-

ственному преобразованию.

Замечание 2. При n = 1 исходное уравнение представляет собой линейное однородное уравнение с общим решением вида (1.1.4), приведенные выше рассуждения не имеют смысла, и в формуле (1.3.3) n 6= 1.

Способ 2. Точно так же, как и для линейного уравнения, очевидно, что подстановка (1.2.2) не ухудшает вида исходного уравнения, вводя существенный дополнительный произвол (напомним – одну из функций, u(x) или v(x), можно считать произвольной). Подставляя (1.2.2) в уравнение (1.3.1), получим

u′v + uv′ + f (x)uv = g(x)unvn.

Сгруппируем, например, второе и третье слагаемое левой части, вынесем за скобку u(x) и потребуем, чтобы скобка обратилась в нуль. Это будет, если функция v(x) является решением линейного однородного уравнения (1.2.3). Оставшееся уравнение можно записать как уравнение с разделяющимися переменными в виде

du = g(x)vn−1 dx, un

и после почленного интегрирования и подстановки найденных функций в решение получаем формулу (1.3.3).

Способ 3. Модификацией первого способа является деление уравнения (1.3.1) на yn. Приэтом мы получаем уравнение, линейное относительно переменной z = y1−n.

21

Пример 2. К уравнению Бернулли приводится уравнение, решение которого является хорошим (хотя и очень простым) примером применения 3-го принципа

В этом уравнении “бякой”, без сомнения, является экспонента – всегда предпочтительней рассматривать уравнения с рациональными функциями от y и y′. Выполнив подстановку

ey = z(x), z′ = ey y′ (y = ln z),

получим

z′ = z2 + f (x)z.

Применяя формулу (1.3.3) при n = 2 и возвращаясь к старым переменным, находим общее решение уравнения (1.3.4)

1.4.Однородное уравнение и приводящиеся к нему

Напомним, что функция n переменных H(x1, x2, . . . , xn) называется однородной функцией степени m, если во всей области ее определения выполняется тождество

H(αx1, αx2, . . . , αxn) = αmH(x1, x2, . . . , xn).

Уравнение

M (x, y)y′ = N (x, y),

в котором функции M (x, y) и N (x, y) – однородные функции одинаковой степени, называется однородным. Очевидно, оно всегда может быть

(здесь функция F – однородная функция степени нуль). Легко убедиться в том, что уравнение (1.4.1) инвариантно относительно равномерного растяжения вдоль осей x, y – если выполнить замену x → αx, y → αy, то уравнение не изменится: коэффициенты α сокращаются в правой и левой части уравнения. Отсюда также следует, что выражение y/x является инвариантом равномерного растяжения. Поэтому, применяя четвертый принцип и выполняя подстановку

y

x

= z(x),

получим уравнение с разделяющимися переменными

xz′ + z = F (z),

22

интегрируя которое, получим

Z

dz

F (z) − z = ln |x| + C.

Возвращаясь к старым переменным, находим общее решение исходного уравнения (1.4.1). Заметим, что у однородного уравнения могут быть частные решения y = Akx, где Ak – корни алгебраического (трансцендентного) уравнения Ak = F (Ak).

Структура аргумента функции F в правой части уравнения подсказывает, что здесь, как в случае уравнения (1.1.5), можно использовать геометрическую интерпретацию. Если

прямые, заданные выражениями

a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0,

можно принять за оси (косоугольной) системы координат на плоскости. Переносами x = ξ + α, y = η + β можно добиться, чтобы начало координат находилось в точке (0, 0). Для этого надо решить систему линейных алгебраических уравнений

a1α + b1β + c1 = 0, a2α + b2β + c2 = 0.

В результате преобразования переноса исходное уравнение (1.4.2) стано-

то исходное уравнение имеет вид (1.1.5).

Другим уравнением, сводящимся к однородному, является

обобщенно-однородное уравнение. Обобщенно-однородным называется уравнение, инвариантное относительно неравномерного

23

Иными словами, обобщенно-однородное уравнение не изменяется, если выполнить замену

Если учесть, что однородное уравнение (1.4.1) инвариантно относительно равномерного растяжения, т. е. преобразования (1.4.4), в котором n ≡ 1, то становится очевидным, что обобщенно-однородное уравнение (1.4.3) сведется к однородному, если нам удастся в результате некоторого преобразования сделать параметр n равным единице. Таким преобразованием будет, например, подстановка y = un, в результате которой получаем уравнение, однородность которого очевидна:

nun−1 u′ = F un . xn−1 xn

Если использовать четвертый принцип, то надо подставить инвари-

ант

u(x) = xyn , т. е. y = xnu,

в результате чего, как и в случае однородного уравнения, получаем уравнение с разделяющимися переменными

Z

du

F (u) − nu

= ln |x| + C.

Следует учитывать два обстоятельства. Во-первых, исходное уравнение часто записывается в таком виде, что далеко не просто распознать в нем обобщенную однородность. Поэтому мы рекомендуем пользоваться критерием (1.4.4), а не пытаться сразу представить уравнение в форме (1.4.3). Во-вторых, обобщенно-однородное уравнение может иметь частные решения y = Akxn, где Ak – корни алгебраического (трансцендентного) уравнения nAk = F (Ak).

1.5.Уравнение Якоби

Родственным однородному является уравнение Якоби, которое имеет вид

(Ax + By + C)dx + (A′x + B′y + C′)dy + (A′′x + B′′y + C′′)(xdy − ydx) = 0,

(1.5.1) где A, B, C, A′, B′, C′, A′′, B′′, C′′ – некоторые константы. Для исследования этого уравнения удобно использовать геометрическую интерпретацию

– ввести однородные координаты аналитической геометрии [12]:

24

где ax, bx, cx – линейные формы однородных координат

ax = a1x1 + a2x2 + a3x3, bx = b1x1 + b2x2 + b3x3, cx = c1x1 + c2x2 + c3x3,

а коэффициенты этих форм зависят от коэффициентов исходного уравнения (1.5.1). Легко видеть, что для обратного перехода от однородных координат (1.5.2) к исходным (x, y) достаточно положить x3 = 1.

Покажем, что уравнение (1.5.3) имеет линейные частные интегралы

X

где u1, u2, u3 – некоторые константы. Умножая первый и второй столбцы определителя (1.5.3) на u1 и u2 соответственно и прибавляя к третьему, умноженному на u3, получим

т. е. в силу (1.5.4), (u1ax + u2bx + u3cx)(x2dx1 − x1dx2) = 0. Так как однородные координаты в уравнении (1.5.3) совершенно равноправны, ана-

логично получаем такие же равенства с множителями (x3dx2 − x2dx3) и (x1dx3 − x3dx1). Эти множители одновременно не равны нулю, поэтому, если выполняется (1.5.4), то и u1ax + u2bx + u3cx = 0. Это означает, что эти линейные формы пропорциональны:

u1ax + u2bx + u3cx = λ(u1x1 + u2x2 + u3x3).

25

Подставляя в это равенство величины ax, bx, cx и “расщепляя” получившееся выражение по x1, x2, x3, получим линейную систему для определения ui:

(a1 − λ)u1 + b1u2 + c1u3 = 0, a2u1 + (b2 − λ)u2 + c2u3 = 0,

a3u1 + b3u2 + (c3 − λ)u3 = 0;

еерешения, отличные от нуля, находятся из кубического уравнения

Если корни различны и действительны, мы получаем три интегральные прямые уравнения Якоби

ux ≡ u1x1 + u2x2 + u3x3, vx ≡ v1x1 + v2x2 + v3x3, wx ≡ w1x1 + w2x2 + w3x3.

Возьмем эти прямые за оси новой трилинейной системы координат (ξ1, ξ2, ξ3), так что в этой систем координат решениями будут ξ1 = 0, ξ2 = 0, ξ3 = 0. Это всегда можно сделать, так как уравнение Якоби инвариантно относительно линейных замен. Форма (1.5.3) примет вид

Его общий интеграл

ξ1c3−b2 ξ2a1−c3 ξ3b2−a1 = C,

т.е.

(u1x1 + u2x2 + u3x3)α(v1x1 + v2x2 + v3x3)β (w1x1 + w2x2 + w3x3)γ = C,

26

причем α + β + γ ≡ 0. Положив x3 = 1, находим решение в декартовых координатах

(u1x + u2y + u3)α(v1x + v2y + v3)β (w1x + w2y + w3)γ = C.

Если вещественный корень только один (интегральная прямая u1x1+ +u2x2+u3x3 = 0), то можно выполнить замену переменных x1 = ξ1,

x2 = ξ2, u1x1 + u2x2 + u3x3 = ξ3; если u3 =6 0, то определитель этой подстановки отличен от нуля (если u3 = 0, но, например u1 =6 0, то положим

ux = ξ1, x2 = ξ2, x3 = ξ3). Преобразуем исходное уравнение аналогично тому, как мы преобразовывали его для доказательства существования линейного частного интеграла. В результате получим

(γ3η − β1ξ − β2η − β3)dξ − (γ3ξ − α1ξ − α2η − α3)dη = 0,

т. е. мы получили уравнение типа (1.4.2), которое интегрируется в квадратурах.

На практике можно не переходить к однородным координатам. Нужно найти один линейный интеграл u1x + u2y + u3 = 0 уравнения (1.5.1) и ввести новые переменные

Наконец, если все три корня совпали, вместо интегральной прямой мы получаем целый пучок интегральных прямых, так как одного уравнения недостаточно для определения двух отношений u1/u3, u2/u3. Выражая u3 через u1 и u2 и подставляя в уравнение ux = 0, находим уравнение пучка, которое содержит одну существенную постоянную и, следовательно, является общим интегралом уравнения (1.5.1).

1.6.Уравнение Дарбу

Геометрическая интерпретация, успешно используемая для исследованиия уравнения Якоби, может применяться и для значительно более сложных уравнений. Пусть в уравнении

27

функции M и N являются многочленами (m+1)-й степени относительно переменных x и y, и пусть эти функции могут быть представлены в виде

M = Y − Zy, N = Zx − X,

где X, Y, Z – многочлены степени m. Тогда уравнение (1.6.1) может быть переписано в виде

Уравнение (1.6.2) называется уравнением Дарбу. Ниже мы приводим доказательства основных свойств уравнения Дарбу, следуя книге [13].

1. Введем, аналогично рассуждениям предыдущего параграфа [см. (1.5.2)], вместо x и y отношения x/z и y/z. Тогда получим уравнение

К элементам последней строки можно, не нарушая уравнения, добавить элементы второй, умноженные на некоторый множитель λ, произвольностью которого можно воспользоваться для того, чтобы новое уравнение (с коэффициентами X1 = X + λx, Y1 = Y + λy, Z1 = Z + λz) удовлетворяло бы некоторому добавочному условию. Удобно принять

∂X∂x1 + ∂Y∂y1 + ∂Z∂x1 = 0,

Так как X, Y, Z – однородные полиномы степени m, то для λ (которое тоже должно быть однородным, но степени m −1) получается выражение

Если коэффициенты исходного уравнения удовлетворяют этому условию, то говорят, что уравнение (1.6.3) – нормального вида. Выражение

∂X∂x + ∂Y∂y + ∂Z∂x

мы будем обозначать H. Оно является инвариантом уравнения.

28

где функция f должна быть однородной функцией нулевого измерения. Она удовлетворяет уравнению в полных дифференциалах

коэффициенты которого могут иметь общий множитель κ:

поэтому

P x + Qy + Rz = 0.

Таким образом, P обращается в нуль, когда y = 0, z = 0, x 6= 0; соответственно, Q = 0, когда y 6= 0, x = z = 0, и R = 0, когда z 6= 0, x = y = 0. Отсюда

т. е. G + F = E′′z, G′ + F ′ = E′y, G′′ + F ′′ = Ex, а в силу (1.6.9)

E + E′ + E′′ = 0.

29

Полагая

E = Y − Z, E′ = Z − X, E′′ = X − Y,

приходим к тому, что уравнение (1.6.7) принимает вид (1.6.3). Так как мы пришли к исходному уравнению общим методом – исключением из семейства кривых произвольной постоянной, то тем самым найдены условия, при которых семейство кривых (1.6.5) является общим интегралом уравнения (1.6.3) – функция f (x, y, z) должна быть однородной функцией x, y, z, нулевого измерения, и для каждой точки плоскости должно выполняться равнство

Второе условие следует из (1.6.6) и (1.6.8):

Нетрудно доказать и обратное утверждение [13].

2. Перейдем теперь к следующему вопросу – сколько частных решений необходимо знать, чтобы построить общее решение уравнения Дарбу. Мы будем называть частным решением всякое уравнение вида

однородное, измерения h =6 0, геометрический образ которого есть некоторая плоская кривая, если для каждой точки этой кривой выполняется уравнение (1.6.10). В самом деле, по свойству однородных функций

x∂ϕ∂x + y ∂ϕ∂y + z ∂ϕ∂x = hϕ,

и для каждой точки кривой (1.6.11)

x∂ϕ∂x + y ∂ϕ∂y + z ∂ϕ∂x = 0.

30