de1

Заменяя в (1.6.10) частные производные пропорциональными им величинами согласно (1.6.12), получим, что в каждой точке кривой (1.6.11) выполняется уравнение (1.6.3).

Пусть уравнение (1.6.11) – алгебраическое, и можно принять, что h

– целое число. Тогда существует тождество

где K – некоторый целый однородный полином от x, y, z степени m − 1, т. е. на единицу меньше степени X, Y, Z.

Пусть имеется p алгебраических частных решений уравнения

будет общим интегралом уравнения (1.6.3).

Выясним, скольким условиям должны удовлетворять величины αi.

Каждый полином Ki содержат m(m + 1) 2

31

уравнение (1.6.15) равносильно такому же количеству условий, однородных относительно α1, α2, . . . , αp. Вместе с условием (1.6.16) имеем всего

m(m + 1) + 1 таких уравнений, и для их удовлетворения нужно иметь

2

показателей на единицу больше, т. е. частных решений должно быть

p = m(m + 1) + 2, и тогда мы можем из них составить общий интеграл

2

уравнения (1.6.3) в виде (1.6.17).

называется уравнением Риккати общего вида. При f2 = 0 уравнение (1.7.1) является линейным уравнением, при f0 = 0 – уравнением Бернулли, поэтому эти случаи мы не рассматриваем. Тем не менее следует отметить еще один тривиальный случай интегрируемости – если

f1 = af2, f0 = bf2,

уравнение (1.7.1) является уравнением с разделяющимися переменными. В общем случае уравнение Риккати в квадратурах не интегрируется. Поэтому нужно в первую очередь выяснить, можем ли мы построить общее решение с помощью некоторого набора частных, которые в ряде случаев достаточно просто угадываются. Пусть известно одно част-

ное решение y1(x) уравнения (1.7.1). Выполним подстановку

Она не “ухудшает” вид исходного уравнения и позволяет сгруппировать слагаемые следующим образом:

В силу того, что, по предположению, y1(x) является частным решением исходного уравнения, выделенная группа слагаемых в правой части преобразованного уравнения равна y1′ . Оставшееся после подстановки (1.7.2) уравнение является уравнением Бернулли и, следовательно, интегрируется посредством двух квадратур.

Для приведения получившегося уравнения к линейному следует положить z = 1/u, в результате получаем уравнение

32

Как мы помним, общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид u = Cϕ(x)+ψ(x), где ϕ и ψ – некоторые функции x. Возвращаясь к старой искомой функции y(x), находим форму общего решения уравнения (1.7.1):

Таким образом, общее решение уравнения Риккати является дробно-ли- нейной функцией произвольной постоянной

Нетрудно доказать и обратное утверждение: всякая дробно-линейная функция произвольной постоянной является общим решением некоторого уравнения Риккати. Для этого надо разрешить выражение (1.7.4) относительно C и исключить ее дифференцированием по x. Разрешив получившееся уравнение относительно y′, приходим к уравнению Риккати.

Если известно два частных решения уравнения (1.7.1), то общее решение находится одной квадратурой. Действительно, два решения y1(x) и y2(x) порождают одно частное решение линейного уравнения (1.7.3)

1

u1 = y2 − y1 ,

что позволяет проинтегрировать его посредством одной квадратуры. Наконец, если известны три частных решения y1(x), y2(x) и y3(x) уравнения (1.7.1), то общее решение найдется вообще без квадратур. В этом случае для уравнения (1.7.3) известно два частных решения

33

Если в формуле (1.7.5) вместо y подставить какое-либо четвертое частное решение, получим

т. е. ангармоническое отношение любых четырех частных решений уравнения Риккати есть величина постоянная.

Так как в формуле (1.7.5) y1(x), y2(x) и y3(x) – произвольные частные решения уравнения (1.7.1), уравнение Риккати обладает фундаментальной системой решений, число которых равно трем.

1.8.Уравнение Риккати: канонические преобразования

Согласно (1.7.1), всякий элемент класса уравнений Риккати определяется тремя коэффициентами – функциями f2, f1, f0. Вообще говоря, такое определение несет в себе информационную избыточность. Покажем, что для определения элемента класса достаточно одной функции, а остальные являются несущественными, так как по любым друм функциям из трех существует группа эквивалентности, позволяющая нормировать их на заданную константу. Так как в общем случае уравнение Риккати не интегрируется в квадратурах, очевидно, что для функций f2 и f0 эта константа не может быть равна нулю.

Приведение уравнения к наиболее компактному, не содержащему “лишней” информации виду обычно называется каноническими преобразованиями. Они, как правило, удовлетворяют первому принципу рациональной логики преобразований. Поэтому следует выделить преобразования, не меняющие вид уравнения (1.7.1), т. е. инвариантные на классе уравнений Риккати. Такими преобразованиями, как нетрудно убедиться, являются:

1.Произвольное преобразование независимой переменной – аргумента искомой функции

2. Дробно-линейное преобразование искомой функции

и его частный случай – преобразование Куммера-Лиувилля

Выполним в уравнении (1.7.1) преобразование (1.8.3), положив g = 0: мы предполагаем, что частное решение исходного уравнения мы не знаем, поэтому наличие дополнительного произвола – функции g(x) – не дает нам

34

существенного упрощения уравнения. Перенося слагаемые, не содержание u′, в правую часть и приведя подобные, получим

f u′ = f2f 2u2 + (f1f − f ′) u + f0.

|{z }

Приравнивая выделенную скобку нулю и разделив обе части уравнения на f , получим преобразованное уравнение и условие на функцию f :

Итак, мы избавились от линейного слагаемого в правой части уравнения. Теперь мы можем нормировать один из оставшихся коэффициентов, например, на единицу. Для этого разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при u2 и запишем уравнение в следующей форме

В результате получаем каноническую форму уравнения Риккати

где R(t) – функция f0/f2f 2 после подстановки значения x из обращения интеграла (1.8.4). В ряде случаев каноническую форму уравнения Рикка-

Отметим еще одно важное свойство уравнения Риккати. Преобразо-

вание

y = z′ (1.8.7) z

переводит уравнение Риккати (1.8.6) в линейное однородное уравнение второго порядка

35

1.9.Специальное уравнение Риккати

Вэтом разделе мы рассмотрим важный частный случай уравнения Риккати – уравнение вида

Это уравнение называется специальным уравнением Риккати. Легко убедиться, что параметры a и b являются несущественными – масштабированием x и y можно добиться нормировки этих параметров на единицу. Поэтому при дальнейших преобразованиях мы не будем подробно выписывать их значения, а ограничимся добавлением индексов, если они изменяются.

Как указывалось выше, уравнение Риккати инвариантно относительно дробно-линейного преобразования (1.8.2), а также относительно произвольного преобразования аргумента (1.8.1). Среди множества подобных преобразований существует по крайней мере одно, сохраняющее вид (1.9.1). Его можно найти алгоритмически, выполнив преобразование (1.8.2)–(1.8.1) в общем виде и наложив условия сохранения формы (1.9.1), но с другими параметрами m, a, b, но мы пока ограничимся приведением готового преобразования. Подстановка

Таким образом, на множестве специальных уравнений Риккати определена группа преобразований эквивалентности (1.9.2)–(1.9.3), которая всякому показателю m0 ставит в соответствие множество показателей {mk }, где

36

Множество {mk} называется орбитой элемента m0 и является дискретным множеством в том смысле, что у всякого элемента орбиты mi существует окрестность, не содержащая никакого другого элемента этой орбиты. Поэтому группа, заданная образующей (1.9.4), в отличие от группы эквивалентности уравнения Бернулли (1.3.2) является дискретной и имеет строение C∞ (бесконечная циклическая группа).

При m = −3 преобразование (1.9.3) теряет смысл, так как в знаменателе оказывается равное нулю выражение, но если вместо него подста-

Если теперь пополнить класс уравнений (1.9.1) уравнением (1.9.6), т. е. рассмотреть объединение классов (1.9.1) (1.9.6), то оказывается, что найденная группа преобразований замкнута на этом объединенном классе, и все точки, обращающие в бесконечность правую часть выражения (1.9.5), представляют собой одну орбиту, которую можно рассматривать, как ор-

Заметим также, что образующая (1.9.4) имеет неподвижную точку – это значение m0 = −2. Более того, это точка сгущения, так как, согласно (1.9.5), при стремлении k → ∞ точки любой орбиты неограниченно приближаются к значению m∞ = −2.

Теперь рассмотрим вопрос об интегрируемости специального уравнения Риккати. Совершенно очевидно, что легко интегрируется случай m = 0 – мы имеем уравнение с разделяющимися переменными. Далее, при m = −2 специальное уравнение Риккати является обобщеннооднородным уравнением: подстановка

т. е. однородное уравнение. Орбита интегрируемого значения m0 целиком состоит из значений mk , при которых уравнение (1.9.1) также будет интегрируемым, так как все уравнения с этими значениями показателя связаны известными преобразованиями с исходным. Говорят, что интегрируемые случаи “размножаются” действием группы эквивалентности. Если m0 = 0, то орбита, согласно (1.9.5), состоит из уравнений с показателями

37

где k – любое целое число. К сожалению, значение m = −2 не “размножается” – как указывалось выше, оно является неподвижной точкой образующей (1.9.4). Значениями m

и исчерпываются все случаи специального уравнения Риккати, при которых оно интегрируется в квадратурах. Это утверждение было сформулировано Лиувиллем, хотя впоследствие в его доказательстве была обнаружена ошибка (ее исправил Дженокки).

Если показатель уравнения (1.9.1) не принадлежит множеству (1.9.8), то решения можно выразить через специальные функции, не являющиеся квадратурами – функции Бесселя. Преобразование (1.8.7) переводит специальное уравнение Риккати (при a = 1, что легко достигается простым масштабированием) в линейное уравнение

m = −2 уравнение (1.9.9) является уравнением Эйлера. Значения (1.9.7) дают нам множество индексов функций Бесселя, при которых эти функции выражаются через элементарные. Это имеет место при

ν = 2k + 1 , 2

т. е. в случаях, когда индекс ν принимает полуцелые значения.

1.10.Уравнения Абеля 1-го и 2-го рода

Уравнение

38

называется уравнением Абеля первого рода. При f3 = 0 оно является уравнением Риккати, при f2 = f1 = 0 – уравнением Бернулли. Аналогично уравнению Риккати, его можно привести к канонической форме

Таким образом, класс уравнений Абеля 1-го рода может быть определен как множество уравнений с однофункциональным произволом. К сожалению, лишь считанные единицы уравнений (1.10.2) могут быть проинтегрированы в квадратурах или в специальных функциях [2].

Если для уравнения (1.10.2) известно одно частное решение y1(x), то преобразование z = y − y1 приводит к уравнению, не содержащему свободного члена

Это уравнение подстановкой z = 1/w приводится уравнению Абеля вто-

рого рода

w′ = (2f2y1 + f1)w2 + (3f3y1 + f2)w + f3.

Такое же преобразование используется в случае, если в исходном уравнении (1.10.1) f0 = 0. Заметим, что функция y2 = −f2/3f3 является частным решением исходного уравнения, уравнение (1.10.3) является уравнением Бернулли и, следовательно, в этом случае уравнение (1.10.1) интегрируется в квадратурах.

Уравнение

называется уравнением Абеля второго рода. Частным его случаем является уравнение (1.10.3). Уравнение (1.10.4) очень частно встречается в приложениях как результат понижения порядка в уравнениях механики и нелинейной физики.

При g1 = 0 уравнение (1.10.4) является уравнением Риккати, поэтому мы считаем, что g1 6= 0. После деления на g1 и подстановки

z = y − g0 g1

мы получаем уравнение вида

zz′ = F2(x)z2 + F1(x)z + F0(x),

39

которое приводится к каноническому виду уже известными нам преобразованиями (1.8.3)–(1.8.1): после

К сожалению, часто оказывается невозможным выразить x(t) в явном виде, и функция R(t) задается параметрически. Если это по каким-то причинам вызывает неудобства, уравнение приводится к “предканонической” форме без последнего преобразования аргумента в (1.10.5)

Следует лишь помнить, что в этом случае одна из функций, входящих в качестве коэффициентов в уравнение (1.10.7), не является существенной и может быть выбрана произвольно.

Востребованность в приложениях явилась одной из причин того, что проблеме интегрируемости уравнения (1.10.6) посвящено большое количество публикаций. Однако до последнего времени своеобразная “черта” под классическими исследованиями была подведена еще в 1894 году [15]. Б. М. Коялович нашел необходимые условия для того, чтобы общий интеграл уравнения (1.10.6) был представим в виде

k

Y

i=1

где αi(t) – частные решения уравнения (1.10.6), названные им каноническими. Коялович предложил оригинальный алгоритм поиска канонических решений при заданном k и привел все известные к тому времени интегрируемые случаи функций R(t), заданной в явном виде:

Первый, пятый и шестой случаи соответствуют каноническим решениям Кояловича (k = 2, 3, 4), второй известен как случай Лиувилля, пятый – как случай Эйлера; третий и четвертый случаи не интегрируются в квадратурах, но их решение может быть представлено через функции Бесселя. Любопытно, что полного перечня уравнений с правыми частями (1.10.9) нет даже в справочнике [14].

40