de2

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА

кафедра математического анализа

В. Ф. Зайцев, Л. В. Линчук

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ)

Научное издание

Часть II

Санкт-Петербург 2008

Рецензенты: д. ф-м. н. профессор Будаев В. Д.

д. ф-м. н. профессор Флегонтов А. В.

Зайцев В. Ф., Линчук Л. В. Дифференциальные уравнения (структурная теория), часть II. – СПб., 2008. – 100 с. – ISBN 978–5–94777–125–1

Монография предназначена для студентов, магистрантов и преподавателей и может быть использована в качестве учебного пособия при изучении дисциплин, связанных с решением дифференциальных уравнений в самых разнообразных отраслях прикладной науки. Оно также будет полезно при подготовке к семинарам, факультативным занятиям и при самостоятельном изучении вопросов данной тематики. Материал монографии может быть широко использован на лекциях и практических занятиях по курсам дифференциальных уравнений математической физики и группового анализа.

Целью настоящей монографии является изложение основных принципов и методов поиска точных аналитических решений различных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), а также изучение современных направлений развития этой отрасли знаний.

Библиогр. 22 назв.

ISBN 978–5–94777–125–1 c Зайцев В. Ф., Линчук Л. В., 2008c ООО “Книжный Дом”, 2008

Предисловие авторов

Настоящая монография посвящена почти исключительно структурной теории дифференциальных уравнений, основная задача которой – поиск точных решений уравнений в аналитическом виде. По этой причине эта книга не может заменить классические учебники, в которых д´олжное место уделено и теоремам существования и единственности, и основам качественной теории, и применению численных методов, и необходимым св´едениям из аналитической теории, а также ряду специальных вопросов. Зато авторы надеются, что эта книга научит читателя интегрировать многие уравнения в замкнутом виде, не ограничиваясь лишь классическими случаями, которые в существующих учебниках описаны довольно шаблонно.

Задача поиска точного решения в замкнутом виде остается чрезвычайно актуальной несмотря на бурное развитие численных и качественных методов исследования решений и их реализации на ЭВМ. Причина столь явного, казалось бы, анахронизма заключается прежде всего в потребностях прикладной науки, в частности, при решении задач моделирования. Можно было бы привести сотни примеров предпочтительности точного аналитического решения любому другому, но мы остановимся лишь на наиболее ярких примерах. К ним относятся:

1)проблемы нелинейной физики, приводящие к уравнениям, имеющим неединственное решение (достаточно рассмотреть некоторые краевые задачи теории пограничного слоя);

2)многопараметрические задачи, приемлемая визуализация которых на современных ЭВМ невозможна;

3)задачи, существенной составной частью которых является нечисловая (например, симметрийная) информация.

Поэтому не случайно на грани XX и XXI веков снова возник острый интерес к поиску новых методов интегрирования уравнений, количество публикаций по этой теме за рубежом исчисляется сотнями. Дополнительную аргументацию в пользу точных решений можно найти в книгах одного из авторов [1]–[5].

Данная книга построена по принципу “от простого к сложному” и предназначена студентам, магистрантам, аспирантам и специалистам по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Вторая часть содержит изложение классической теории Ли. При этом обосновываются и доказываются положения, составляющие существо рациональной логики рассуждений, изложенные в первой части. В книге рассматриваются как обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), так и уравнения в частных производных (УЧП);

3

некоторое внимание уделяется также алгебраическим, функциональным и функционально-дифференциальным уравнениям. Основополагающие понятия и классические результаты теории Ли излагаются по монографиям Л. В. Овсянникова, Н. Х. Ибрагимова и П. Олвера [6]–[10].

Естественно, авторам потребуются и некоторые результаты других направлений теории дифференциальных уравнений. В этом случае они будут приводиться без доказательств с соответствующими ссылками.

Материал этой монографии широко используется одним из авторов при чтении лекций и проведении практических занятий по курсам дифференциальных уравнений, математической физики, математических моделей в естествознании и проблем современной математики на математическом факультете РГПУ им. А. И. Герцена. Это позволяет познакомить студентов с потребностями современных прикладных наук и с новыми идеями поиска эффективных алгоритмических методов, многие из которых еще ждут своих исследователей.

Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность А. А. Петрушенко за неоценимую помощь в подготовке настоящего издания.

4

Введение

Вторая часть монографии естественным образом развивает структурную теорию, элементарное введение в которую изложено в первой части. Здесь мы в основном будем изучать достижения классической теории Ли. Это научное направление, основы которого заложил в конце XIX века норвежский математик Софус Ли (Sophus Lie, 1842–1899), первоначально имело основной задачей вопрос о разрешимости ОДУ в квадратурах. Однако в то время теория Ли (названная впоследствии групповым анализом) не нашла широкого применения – подавляющее большинство математиков считало, что все, что можно проинтегрировать в замкнутой форме, уже проинтегрировано в работах классиков, и дальнейшие результаты могут быть получены лишь путем отказа от непременной представимости решения в замкнутом аналитическом виде. При этом считалось, что групповой анализ, входящий основной составной частью в теорию непрерывных групп преобразований, представляет интерес только с точки зрения классификации и упорядочения наших знаний в этой области, описывая процедуру интегрирования практически всех известных примеров с единых позиций и в ряде случаев – в виде замкнутого алгоритма.

Возрождение интереса к групповому анализу произошло лишь в середине XX века, начиная с работ академика Льва Васильевича Овсянникова. В своей монографии [6] он убедительно показал, что идеи С. Ли применимы не только для построения общих решений ОДУ – описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп позволяет строить классы точных инвариантных решений и помогает в качественных исследованиях уравнений механики и математической физики. Дальнейшее развитие симметрийного анализа шло по нескольким направлениям:

1)обобщение понятия инфинитезимального оператора – определение нелокальных переменных, нелокальных и формальных операторов, появление алгоритмов поиска неклассических симметрий;

2)широкое распространение обратных задач;

3)доказательство теорем о факторизации;

4)попытки применения дискретных симметрий, приведшие к появлению дискретно-группового анализа.

Оказалось, что пренебрежение к групповому анализу, прямо вытекающее из иллюзии, что “для ОДУ все уже получено”, привело к парадоксальной ситуации: к концу XX века о симметриях УЧП знали гораздо больше, чем о симметриях ОДУ! В результате в ряде случаев мы без труда

5

находим обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет инвариантное решение уравнения математической физики, но не можем найти его точное решение, так как “арсенал средств” группового анализа ОДУ оказывается слишком “бедным”.

Тем не менее заметим, что в довоенной литературе по ОДУ имеются параграфы, посвященные классическому групповому анализу, см., например, [11, 12]. Авторы этих книг (не потерявших актуальности и как учебники!) отчетливо представляли важность симметрийного подхода, равным образом, как и включение в общий курс св´едений об актуальных уравнениях (таких как уравнения Абеля и Дарбу), интегрирование которых связано с известными трудностями. Остается только сожалеть о существенном сокращении материала в последующих монографиях, что практически свело их (в области структурной теории) к справочным руководствам по интегрированию простейших уравнений.

В настоящей монографии мы не даем списка трудов С. Ли, так как они, как правило, труднодоступны – только в последнее время появились электронные версии нескольких книг. Интересующимся можем порекомендовать обратиться к замечательному биографическому изданию [13].

6

Глава 1. Группы преобразований на плоскости

1.1.Основные определения

Вэтом разделе мы приведем необходимые понятия и определения общей алгебры и теории топологических групп. Следует помнить, что эти сведения ни в коей мере не заменяют специальную литературу, посвященную указанным областям математики, а лишь очерчивают круг смежных направлений, лежащих в основании современного группового анализа.

Определение 1.1. Множество G называется группой, если на этом множестве задана бинарная операция a ◦b = c для любых a, b G так, что c G (алгебраическая полнота), и удовлетворяющая следую-

щим аксиомам группы:

1. Операция ассоциативна, т. е. для любых a, b, c G (a ◦ b) ◦ c =

= a ◦ (b ◦ c).

2.Множество G содержит левую единицу, общую для всех элементов

группы, т. е. такой элемент e, что e ◦ a = a для всякого элемента

a G.

3.Для всякого элемента a G существует левый обратный элемент, т. е. такой элемент a G, что a ◦ a = e.

Легко доказать, что левая единица является также и правой единицей, т. е. для любого a G a ◦ e = a; левый обратный элемент a к элементу a является также и правым обратным: a ◦ a = e. Очевидно также, что a = a.

Определение 1.2. Множество G является топологической

группой, если на нем заданы две структуры – группы и топологического пространства, согласованные условием непрерывности групповых операций, а именно, для всякой пары (a, b) G × G отображение (a, b) −→ a ◦ b должно быть непрерывным.

В дальнейшем топологические группы будут обозначаться обычным шрифтом (Roman), в противоположность дискретным группам, рассмотренным в приложении, за которыми остается обозначение готическим шрифтом.

Определение 1.3. Преобразованием называется отображение

σ : X −→ X некоторого множества X (вообще говоря, наделенного некоторой структурой) в себя. При этом каждый элемент x X переводится в некоторый (не обязательно отличный от x) элемент y X, y = σ x.

Определение 1.4. Пусть G – группа, X – множество, и каждому a G соответствует преобразование x −→ a x множества X такое,

7

что (a ◦ b) x = a (b x) для всех a, b G и x X. Тогда пара (G, X) называется группой преобразований. Обычно говорят о действии группы G на множестве X . Классы эквивалентности группы преобразований называются орбитами. Так, орбита элемента x X определяется как множество {ai x}, где {ai} = G.

Определение 1.5. Непрерывной группой преобразований называется топологическая группа гладких или аналитических локальных преобразований пространства Rn или Cn, гладко или аналитически зависящих от параметров. Если Qx – орбита элемента x X и xa – ее элемент, соответствующий значению a параметра преобразования, то любая окрестность xa содержит некоторый элемент xb, b 6= a.

Определение 1.6. Пусть G – группа, H – произвольное множество, и каждому элементу a G сопоставлен элемент a˜ = π a H так, что все соотношения между элементами в G выполняются и для их

˜

образов в H (например, π (a ◦ b) = a˜ ◦ b). Тогда H – тоже группа, а

π называется гомоморфизмом или гомоморфным отображением

из G в H.

Если отображение π сюръективно, т. е. каждый элемент из H является образом по крайней мере одного элемента из G, то говорят о гомоморфизме из G на H. Те элементы ai G, которые имеют один и тот же образ a˜ в H, можно объединить в класс A. При этом мы получим разбиение группы G на классы, которые взаимно-однозначно соответствуют элементам множества H. Класс A называется также прообразом элемента a˜.

1.2.Многообразия

Определение 1.7. Гладким m-мерным многообразием называется всякое множество M вместе со счетным набором подмножеств Uα M , называемых координатными картами и взаимнооднозначных функций χα : Uα → Vα, где Vα – открытые связные подмножества Rm, называемых локальными координатными отображениями (или локальными координатами), которые обладают следующими свойствами:

1. Координатные карты покрывают M :

[

Uα = M.

α

2.Для пересечения любой пары координатных карт Uα ∩ Uβ композиция отображений (функция перехода)

χβ ◦ χ−α 1 : χα(Uα ∩ Uβ ) → χβ (Uα ∩ Uβ )

8

является гладкой (C∞) функцией.

3. Если x Uα, y Uβ – разные точки M , то существуют: открытое подмножество W в Vα, содержащее точку χα(x), и открытое

˜

подмножество W в Vβ , содержащее точку χβ (y), такие, что

˜

χ−α 1(W ) ∩ χ−β 1(W ) = .

Легко видеть, что локальные координаты снабжают многообразие M структурой топологического пространства: мы требуем, чтобы для всякого открытого подмножества W Vα Rm множество χ−α 1(W ) было открытым подмножеством множества M . Иными словами, многообразие – топологическое пространство, локально изоморфное евклидову.

Пример 1. Единичная сфера S2 = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1} – нетривиальное двумерное многообразие, реализованное поверхностью в R3. Пусть

U1 = S2 \ {(0, 0, 1)}, U2 = S2 \ {(0, 0, −1)}

– подмножества, полученные удалением северного и южного полюсов соответственно. И пусть

χα : Uα → R2 {(x, y, 0)}, α = 1, 2

– стереографические проекции из соответствующих полюсов, т.е.

На пересечении U1 ∩ U2 отображение

χ1 ◦ χ−2 1 : R2 \ {0} → R2 \ {0}

является гладким диффеоморфизмом

Этот пример – частный случай общего понятия гиперповерхности в Rm

– исторический мотив введения Б. Риманом понятия многообразия. Далее мы увидим, что основания группового анализа существенно базируются на том, что дифференциальное уравнение задает многообразие в продолженном пространстве.

9

1.3.Группы Ли

Рассматриваются обратимые преобразования в плоскости (x, y):

преобразования (1.3.1) образуют (локальную) однопараметрическую группу G, если последовательное выполнение двух преобразований равносильно применению третьего преобразования того же вида (1.3.1). Как будет доказано далее, путем подходящего выбора параметра a это групповое свойство может быть записано в виде:

x˜ = ϕ(˜x, y,˜ b) = ϕ(x, y, a + b), y˜ = ψ(˜x, y,˜ b) = ψ(x, y, a + b), (1.3.3)

т. е. групповой операцией ◦ является обычное сложение (аддитивная групповая операция). Тогда, очевидно, обратное к (1.3.1) преобразование получается простым изменением знака параметра a:

x = ϕ(˜x, y,˜ −a), y = ψ(˜x, y,˜ −a).

Разложим функции ϕ и ψ в ряд Тейлора по параметру a в окрестности точки a = 0 и запишем инфинитезимальное (бесконечномалое) преобразование в виде

ванными точками) и поэтому называется касательным векторным полем группы G.

Теорема 1.1. (С. Ли). Пусть функции ϕ и ψ удовлетворяют групповому свойству (1.3.3) и имеют разложение (1.3.4). Тогда они являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений перво-

10