de2

a, b Gr.

Теорема 5.2. Пусть X, Y – векторы Lr, соответствующие элементам a, b Gr , тогда элементу ab соответствует вектор

X + Y + 12 [X, Y ] + 121 [[X, Y ], Y ] + 121 [[Y, X], X] + 241 [[[Y, X], X], Y ]− − 7201 [[[X, Y ], Y ], Y ] − 7201 [[[[Y, X], X], X], X] + . . . (5.4.1)

Выражение (5.5.1) называется рядом Кэмпбелла–Хаусдорфа. Из теоремы 5.2 выводится важное следствие

Следствие. Элементу aba−1 группы Gr соответствует вектор из Lr, который имеет вид

Часто более удобно рассматривать не вектор X, а вектор αX, где α R1. Тогда формула (5.5.2) записывается в виде

и дает образ элемента Y под действием внутреннего автоморфизма, соответствующего вектору αX. Эта формула позволяет строить неподобные подалгебры в терминах алгебры Ли Lr без построения группы GAr .

Пример 9. Построим оптимальную систему одномерных подалгебр для группы движений плоскости G3, которую можно задать операторами

Пусть Ai – автоморфизм, соответствующий оператору Xj , тогда, согласно формуле (5.5.3) Ai действует на оператор Xj следующим образом:

Рассмотрим одномерную подалгебру

X = c1X1 + c2X2 + c3X3.

91

Если c3 =6 0, то A1A2(X) = c1X1 + c2X2 + c3(X3 − βX2 + γX1). Полагая β = c1/c3,

γ = −c2/c3, убеждаемся, что при c3 =6 0 оператор X подобен оператору X3. Если же c3 = 0, то аналогично можно показать, что оператор X подобен оператору X1. Таким образом, оптимальная система неподобных одномерных подалгебр имеет вид

X1, X3.

Упражнение 12. Найдите оптимальную систему неподобных одномерных подалгебр для 10-мерной алгебры, допускаемой уравнением (5.2.1), п. 5.2.

Упражнение 13. Найдите полную точечную группу преобразований, допускаемую уравнением Эйконала (5.3.2) и оптимальную систему подалгебр.

5.5.Уравнение теплопроводности

Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности (в случае одной пространственной переменной) в виде [6]

Так как функция σ(u) пока не фиксируется, решается задача групповой классификации. Будем искать допускаемый оператор точечной симметрии

После подстановки величины ut из исходного уравнения (5.5.1) в условие инвариантности и расщепления его по “независимым” переменным ux, uxx, uxt, utt получаем определяющую систему:

При произвольной функции σ(u) мы считаем ее (и ее производную) независимым “свободным” параметром. Поэтому для основной допускаемой группы к первой строке системы (5.5.3) надо добавить четыре дополнительных уравнения

ζ = 0, ξt = 0, ξxx = 0, 2ξx − ηt = 0,

откуда следует, что

ξ = C1 + C3x, η = C2 + 2C3t, ζ = 0.

Поэтому при произвольной функции σ уравнение (5.5.1) допускает трехмерную алгебру Ли с базисными операторами

92

Нетрудно видеть, что базисные операторы (5.5.4) легко угадываются, можно угадать (и доказать) общую формулу преобразований эквивалентности произвольного элемента: σ(u) = cσ(au + b). Далее мы (пока) будем считать, что σ′ =6 0. Из второго уравнения второй строчки системы (5.5.3) следует, что

и с учетом первого уравнения второй строчки системы (5.5.3) находим

Предположение 2ξx −ηt = 0 дает нам базисный набор операторов (5.5.4), поэтому полагаем 2ξx − ηt 6= 0. В этом случае мы получаем классифи-

цирующее уравнение

σ ′′

= 0,

σ′

после двукратного интегрирования получаем

σ

σ′ = ku + l.

Очевидно, что надо рассмотреть два случая – k = 0 и k 6= 0.

В первом случае в качестве σ с учетом преобразований эквивалентности можно выбрать функцию σ(u) = eu. Тогда из (5.5.5) получаем ζ = 2ξx − ηt, а оставшиеся определяющие уравнения системы (5.5.3) приводятся к виду

ξt = 0, ξxx = 0, ηtt = 0,

и к базисным операторам (5.5.4) добавляется оператор

X4 = t∂t − ∂u.

Во втором случае в качестве функции σ можно взять функцию σ(u) = um. Тогда из (5.5.5) находим mζ = (2ξx − ηt)u, и оставшиеся уравнения системы (5.5.3) после расщепления по переменной u приводятся к виду

ξt = 0, (3m + 4)ξxx = 0, 2ξxxx − 2ξxt + ηtt = 0.

Если m =6 −4/3, то добавляется оператор

X4 = mx∂x + 2u∂u,

а в случае m = −4/3 появляется еще один оператор

X5 = x2∂x − 3xu∂u.

93

Если σ′ = 0, то мы получаем классическое (линейное) уравнение теплопроводности (в случае одной пространственной переменной) в виде

Определяющая система в этом случае приобретает очень простой вид

и общее решение ее находится без каких-либо затруднений. В результате получаем следующий набор операторов:

X7 = u0(x, t)∂u,

где u0(x, t) – произвольное частное решение исходного уравнения (5.5.6). Последний оператор набора (5.5.7) наглядно иллюстрирует хорошо известное свойство линейных однородных уравнений – они инвариантны при преобразовании u → u + u0. Оператор X7 задает бесконечномерную подалгебру допускаемой алгебры Ли, поэтому общая структура алгебры, допускаемой уравнением (5.5.6), может быть представлена в виде

прямой суммы L = L6 L∞.

Отметим еще два важных обстоятельства. Как мы выяснили, весь класс уравнений (5.5.1) допускает операторы X1 и X2 – операторы переноса вдоль координатных осей. Это вполне ожидаемый результат, если учесть, что фундаментальные законы не должны зависеть от выбора (нами) начала координат (см. п. 5.3). Заметим, что в случае криволинейных систем координат это рассуждение не верно.

Далее, наличие допускаемой группы, как уже указывалось ранее, позволяет “размножать” частные решения. Рассмотрим оператор X5. Решение уравнений Ли дает следующие преобразования:

94

Упражнение 15. Проведите групповую классификацию уравнения Хопфа

Упражнение 16. Проведите групповую классификацию уравнения движения нелинейной вязко-пластической среды

В заключение отметим, что небольшой объем настоящего издания не позволяет включить ряд интересных и содержательных примеров применения группового анализа к другим модельным уравнениям. Тем более за рамками изложения остались многочисленные новые разработки и алгоритмы, относящиеся уже к современному групповому анализу. Эти результаты, полученные в основном в конце XX века, могут послужить основой учебного пособия к специальным курсам теории дифференциальных уравнений и математической физики, предполагающим расширенное изучение группового анализа в программах магистратуры по соответствующим специальностям.

95

Литература

[1]Зайцев В. Ф. Математические модели в точных и гуманитарных науках. – СПб.: ООО “Книжный Дом”, 2006.

[2]Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 2001.

[3]Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. – М.: Физматлит, 2002.

[4]Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. – М.: Физматлит, 2005.

[5]Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. – М.: Наука, 1993.

[6]Овсянников Л. В. Группы преобразований дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978.

[7]Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике.

–М.: Наука, 1983.

[8]Ибрагимов Н. Х. Азбука группового анализа. – М.: Знание, сер. “Математика и кибернетика”, }8. – 1989.

[9]Ибрагимов Н. Х. Опыт группового анализа. – М.: Знание, сер. “Математика и кибернетика”, }7. – 1991.

[10]Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.

–М.: Мир, 1989.

[11]Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Харьков: ОНТИ, 1939.

[12]Куренский М. К. Дифференциальные уравнения, кн. 1. – Л.: Изд. Артиллерийской Академии РККА, 1933.

[13]Полищук Е. М. Софус Ли. – Л.: Наука, 1983.

[14]Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / под ред. А. М. Виноградова и И. С. Красильщика. – М.: Факториал, 1997.

[15]Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976.

[16]Bianchi L. Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di transformazioni. – Pisa: Spoerri, 1918.

[17]Ибрагимов Н. Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к 150-летию со дня рождения Софуса Ли) // УМН, т. 47, вып. 4 (286), 1992.

96

[18]Anderson R. L., Ibragimov N. H. Lie–B¨acklund transformations in applications. – Philadelphia: SIAM Studies in Applied Mathematics, 1979.

[19]Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1965.

[20]Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – М.: Наука, 1966.

[21]Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Изд. СО РАН, 2001.

[22]Муборахзянов Г. М. Классификация вещественных структур алгебр Ли 5-го порядка // Известия вузов. Математика. – 1963, }3.

97

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Предисловие авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава 1. Группы преобразований на плоскости . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Инварианты групп Ли. Инфинитезимальный оператор 13 1.5. Обобщение на многомерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Глава 2. Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Предварительные замечания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Преобразования производных. Формулы продолжения . 23 2.3. Уравнения первого порядка, допускающие группу . . . . . 25 2.4. Канонический оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5. Уравнение Риккати. Группы эквивалентности . . . . . . . . . 32

2.6.Существенные произвольные элементы. Специальное

уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7. Дифференциальные инварианты. Понижение порядка уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

99