de2

В результате мы получаем три независимых первых интеграла, причем выражения ∂P∂y′i с точностью до постоянного множителя равны соответствующим коор-

˜

динатам канонических операторов Xi (4.7.19). Это означает, что все три симметрии

– нётеровы, и поэтому порядок уравнения (4.7.17) можно понизить не на две, а на четыре единицы, т. е. проинтегрировать исходное уравнение в квадратурах. Для этого исключим из уравнений

вторую и третью производные, в результате чего получим уравнение первого порядка

Заметим, что подстановка констант Ci, i = 1, 2, 3 из (4.7.21) в выражение для Q дает

Q= C1x2 − 2C2x + 2C3 = 3yy′′ − 2(y′)2,

врезультате чего оператор (4.7.23) становится оператором Ли-Беклунда

X = 9y2y′′′ − 9yy′y′′ + 4(y′)3 ∂y .

Упражнение 12. Проинтегрируйте уравнение

двумя способами:

1.Найдите три симметрии и три первых интеграла и покажите, что все симметрии

– нётеровы, а далее проведите все вычисления аналогично уравнению (4.7.17).

2.Найдите преобразование Куммера–Лиувилля, приводящее уравнение (4.7.24) к уравнению (4.7.17).

81

Глава 5. Уравнения в частных производных

5.1.Формулы продолжения

Рассмотрим пространство RN , где N = n + m, x1, . . . , xn – независимые переменные, u1, . . . , um – зависимые переменные. Естественно,

Нас интересует однопараметрическая группа точечных преобразований в пространстве RN :

ей соответствует инфинитезимальный оператор

(x, u – вектора, повторяющиеся индексы подразумевают суммирование). В пространстве RN +nm переменных (x, u, p) преобразования группы индуцируют преобразования производных

которые должны быть согласованы с равенствами (5.1.1). Эти условия однозначно (для каждой группы) определяют преобразования χki . В ре-

зультате мы получаем однопараметрическую группу G, действующую

1

в пространстве RN +nm, которая называется первым продолжением. Оператор продолженной группы равен

Вычисление ζik является трудоемкой и не алгоритмичной задачей. Рассмотрим это на примере пространства RN , где n = 2, m = 1 и попробуем найти χ11. Обозначим для простоты x1 = x, x2 = y. Тогда (5.1.2) запишется в виде

x¯ = ϕ1(x, y, u, a), y¯ = ϕ2(x, y, u, a), u¯ = ψ(x, y, u, a),

82

и

где Dx = ∂x + ux∂u, Dy = ∂y + uy ∂u – “усеченные” операторы полных частных производных. Легко представить сложность вычисления следующих продолжений, тем более, для б´ольшего числа переменных. Поэтому более продуктивен путь, предложенный еще Софусом Ли

– искать сразу коэффициенты продолженного оператора. Введем дифференциальные формы (1-формы)

ωk = duk − pki dxi,

тогда определение производной (5.1.1) запишется в виде ωk = 0. После проведения преобразований группы получим

ω¯k = du¯k − p¯ki dx¯i = 0

(естественное условие, аналогичное условию сохранения касания). Эти уравнения эквивалентны системе

(по индексам j и β ведется суммирование). Продифференцируем (5.1.4) по параметру a и положим a = 0. В результате получим формулу для нахождения ζik:

При выводе мы учли, что, очевидно,

Теперь введем оператор полного дифференцирования по переменной xi:

(везде подразумевается суммирование), и выражение для ζik можно пе-

реписать в виде

ζik = Di(ηk) − pkβ Di(ξβ ).

83

Продолжения более высокого порядка считаются аналогично путем опре-

коэффициенты ζijα определяются формулой

ζijα = Dj (ζiα) − pαiβ Dj (ξβ ).

Для случая n = 2, m = 1 формулы продолжения имеют вид:

ζ11 = ζxx + (2ζxu − ξxx)ux + (ζuu − 2ξxu)u2x − ξuuu3x − ηxxuy − 2ηxuuxuy − − ηuuu2xuy + (ζu − 2ξx − 3ξuux − ηuuy)uxx − 2(ηx + ηuux)uxy, (5.1.6)

ζ22 = ζyy + (2ζyu − ηyy)uy + (ζuu − 2ηyu)u2y − ηuuu3y − ξyy ux − 2ξyuuxuy− − ξuuuxu2y + (ζu − 2ηy − 3ηuuy − ξuux)uyy − 2(ξy + ξuuy )uxy, (5.1.7)

ζ12 = ζxy + (ζyu − ξxy )ux − ξyuu2x + (ζxu − ηxy )uy − ηxuu2y +

+(ζuu − ξxu − ηyu)uxuy − ξuuu2xuy − ηuuuxu2y − (ξy + ξuuy )uxx−

−(ηx + ηuux)uyy + (ζu − ξx − ηy − 2ξuux − 2ηuuy )uxy. (5.1.8)

Естественно, в силу очевидного тождества uxy ≡ uyx мы считаем, что существует лишь три различные вторые производные: uxx, uxy и uyy, и вычисляем три координаты второго продолжения оператора (5.1.3) при n = 2, m = 1.

84

5.2.Уравнения 1-го порядка

Как мы помним, для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка классический групповой анализ не дает ощутимого преимущества по сравнения с другими методами интегрирования, так как отсутствует регулярный алгоритм поиска допускаемой группы. Происходит это из-за того, что в определяющее уравнение входит единственная производная, которая выражается в силу исследуемого уравнения, и условие инвариантности не может быть расщеплено, так как отсутствует свободная независимая переменная. Поэтому в литературе обычно указывается, что для ОДУ 1-го порядка групповой анализ играет организующую роль, позволяя свести все достаточно искусственные методы интегрирования к единой процедуре и расклассифицировать разрешимые уравнения по симметриям.

Для уравнений с частными производными ситуация меняется – уравнение содержит по крайней мере две различные первые производные, одна из которых выражается в силу исходного уравнения через остальные переменные, а вторая становится той независимой переменной, по степеням которой условие инвариантности может быть расщеплено до системы. Поэтому в данном случае групповой анализ позволяет построить регулярный алгоритм поиска допускаемых групп и найти классы частных решений.

Рассмотрим алгоритм группового анализа уравнения в частных производных первого порядка на примере нелинейного уравнения

Будем искать допускаемый оператор в виде

После построения первого продолжения оператора по формулам (5.1.5) записывается условие инвариантности

uxζ + uζ1 + 2uyζ2 = 0.

Подставляя вместо величины ux ее выражение из исходного уравнения (5.2.1)

ux = −u1 (uy)2

и расщепляя полученное выражение по степеням независимой переменной uy, находим (после сокращения на заведомо ненулевые общие мно-

85

Решение систем такого типа не представляет никаких проблем – “двойной треугольный вид” позволяет решать систему (5.2.3) одновременно “с обоих концов”, т. е. с первого и пятого уравнений. Из них следует, что

Далее, второе и четвертое уравнения системы (5.2.3) определяют структуру зависимости неизвестной η от переменных x и u:

Таким образом, к оставшемуся третьему уравнению системы (5.2.3) добавляется еще соотношение

где α и β – пока произвольные функции своих аргументов. Заметим, что структура зависимости от переменной u остается неизвестной лишь для функции ζ, поэтому третье уравнение системы нужно решать именно относительно этой функции:

где γ – также пока произвольная функция своего аргумента. Подставляя η из первой формулы (5.2.5) и вычисляя интеграл, находим

Наконец, последовательно записывая условия совместности выражений (5.2.4)–(5.2.7) и расщепляя получившиеся уравнения по степеням независимых переменных (с учетом того, что степени u, ln u и (ln u)2 линейно независимы), окончательно получим 10-мерную алгебру операторов (5.2.2):

X1 = ∂x, X2 = ∂y , X3 = u∂u,

86

X10 = 2xy∂x + (4x ln u + y2)∂y + 2yu ln u ∂u.

5.3. Инвариантные решения

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (в частных

Определение 5.1. Решение уравнения (5.3.1) u = ϕ(x) называется инвариантным решением относительно подгруппы H, если соответствующее ему многообразие является инвариантным многообразием группы H.

Пример 6. Рассмотрим уравнение Эйконала [21]

оно имеет очевидное решение u = x. Этому решению отвечает многообразие u −x = = 0, которое инвариантно относительно группы переносов y˜ = y + a. Следовательно, решение u = x является инвариантным.

Сформулируем необходимое условие существования инвариантного решения [6, 21]. Пусть J1, . . . , Js – полный набор функциональнонезависимых инвариантов группы H. Рассмотрим матрицу

∂Jk

,k = 1, s, i = 1, m,

∂ui

ееранг обозначим через r. Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.1. Для существования инвариантных относительно

группы H решений необходимо, чтобы r = m, где m – число зависимых переменных.

Пример 7. Уравнение Эйконала (5.3.2) допускает, в частности, операторы

случае r = 1, поэтому необходимое условие существования инвариантного решения

87

выполнено. Нетрудно проверить, что оно выполняется и при H = X2. Но если положить H = X3, то J1 = x, J2 = y, и критерий не выполняется, так как r = 0 =6 m.

то в полном наборе инвариантов существует ровно m функциональнонезависимых инвариантов J1, . . . , Jm, которые зависят от искомых

функций u1, . . . , um. Остальные инварианты Jm+1, . . . , Js зависят только от независимых переменных. Будем считать инварианты J1, . . . ,

Jm функциями от инвариантов Jm+1, . . . , Js:

Из формул (5.3.3) можно выразить u1, . . . , um как функции остальных переменных, причем сами функции Φk подлежат определению.

Если подставить полученные выражения в исходную систему (5.3.1), получается новая система уравнений, которая проще исходной в том смысле, что содержит меньше независимых переменных. Пусть l

– размерность алгебры Ли, допускаемая исходной системой, n – число независимых переменных в системе (5.3.1). Тогда s = m + n − l. Отсюда следует, что число независимых переменных в систем, описывающей инвариантные решения, равно n − l. Число ρ = n − l называется рангом инвариантного решения.

Пример 8. Рассмотрим подгруппу, образованную подалгеброй X1 из преды-

дущего примера. Действуя согласно вышеописанному алгоритму, полагаем J1 =

одно уравнение) для определения Φ:

14 (Φ′)2 = Φ.

Инвариантное решение имеет вид

p

u = x2 + (y + c)2.

Если рассмотреть подгруппу, образованную подалгеброй

решение ищется в виде u = xu(z), где z = J1. И в этом случае получается обыкновенное дифференциальное уравнение

(zu′ + u)2 + z2(u′)2 = 1.

88

Общее решение может быть записано в неявном виде как

Инвариантные решения можно классифицировать по рангу. При этом среди решений одного ранга могут оказаться “одинаковые” решения в том смысле, что одно решение может быть получено из другого преобразованиями группы, допускаемой исследуемым уравнением. Так, рассмотрим решения уравнения Эйконала, инвариантные относительно групп

В первом случае они имеют вид u = f (x), во втором – u = g(y). Эти решения “одинаковы”, так как преобразованием x˜ = y, y˜ = x одно решение переходит в другое.

Следует учесть, что в приложениях инвариантные решения играют особую роль. Большинство содержательных моделей обладают априорной симметрией, наследуемой, например, симметрией фундаментальных законов природы. Не случайно классические уравнения математической физики, записанные в декартовой системе координат, допускают произвольные переносы по каждой из них. Многие уравнения имеют так называемые автомодельные решения, существование которых прямо вытекает из принципов теории размерности1. Поэтому крайне важно не только уметь находить инвариантные решения, но и правильно классифицировать их, рассматривая лишь принципиально различные.

5.4.Понятие об оптимальной системе подалгебр

Таким образом оказывается, что для группового анализа принципиально важна задача о перечислении всех различных подалгебр данной алгебры Ли Lr. Над полем комплексных чисел эта задача, по существу, решена в рамках теории алгебр Ли, но над полем действительных чисел (а нас интересует именно этот случай) известна лишь классификация алгебр малой размерности.

Очевидно, что одномерная алгебра L1 = {X1} только одна (с точностью до изоморфизма) – ее единственный базисный вектор удовлетворяет условию [X1, X1] = 0. Для двумерных алгебр L2 = {X1, X2} возможны 2 вида:

а) L2 – абелева, тогда [X1, X2] = 0;

1Некоторые рассуждения о роли симметрии в моделировании см. также в [1].

89

б) L2 – не абелева, тогда [X1, X2] = X1.

Соответственно, для трехмерных алгебр L3 = {X1, X2, X3} возможно 5 видов:

а) L3 – абелева;

б) [X2, X3] = X1, [X1, X2] = [X1, X3] = 0;

в) [X1, X2] = X1, [X1, X3] = [X2, X3] = 0;

г) [X1, X3] = 0, [X1, X2] = αX1 + βX2, [X3, X2] = γX1 + δX3, где

Подробные таблицы приведены в п. 4.5 (табл. 4.1 и 4.2). Получены также результаты для 4-, 5- и 6-мерных алгебр (см., например [22]). Однако отсутствие общих результатов приводит к тому, что исследование подалгебр допускаемой алгебры Ли приходится делать почти для каждой конкретной системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим автоморфизмы алгебры L (напомним, что автоморфизмом называется изоморфизм алгебры L на себя). Достаточно очевидно, что автоморфизмы образуют группу. Нам потребуется группа внутренних автоморфизмов, так как она может быть описана в терминах исходной алгебры L. Всякий элемент a Gr определяет внутренний автоморфизм fa : b → aba−1 группы Gr, множество fa образует группу, которая обозначается Int Gr. Всякому автоморфизму группы Gr соответствует некоторый автоморфизм алгебры Ли Lr, следовательно, группе Int Gr соответствует локальная группа Ли автоморфизмов алгебры Ли. Эта группа локально изоморфна группе Int Gr, она называется группой внутренних автоморфизмов алгебры Lr или присоединенной группой группы Gr и обозначается GAr .

˜

Определение 5.2. Две подгруппы H и H группы Gr сопряже-

˜

ны (подобны), если существует такой A Int Gr, что A(H) = H. Группа Int Gr разбивает все подгруппы группы Gr на непересека-

ющиеся семейства сопряженных подгрупп. Выбирая из каждого семейства по одному представителю, мы получим оптимальную систему подгрупп группы Gr. Соответствие между подгруппами группы Gr и подалгебрами алгебры Ли Lr позволяет свести всю процедуру к построению оптимальной системы подалгебр.

Присоединенная группа GAr изоморфна фактор-группе Gr/Z, где Z – центр группы Gr. Для описания присоединенной группы надо построить касательный вектор к элементу aba−1, a, b Gr , а для этого воспользуемся известной теоремой [21], утверждение которой позволяет строить касательный вектор к произведению двух элементов ab,

90