de2

4.6.Операторы касательных преобразований

Как было доказано в п. 3.4, уравнение y′′ = 0 допускает 8-мерную точечную алгебру Ли, причем для уравнений второго порядка эта размерность является максимальной (теорема 3.3). Если же вместо этого уравнения рассмотреть эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

то допускаемая группа расширяется. Решение соответствующей определяющей системы дает две бесконечные группы точечных преобразований, допускаемые системой (4.6.1) и порожденные операторами

вольные функции своих аргументов. Переход к исходным координатам (4.6.2) в операторах (4.6.3), (4.6.4) приводит к операторам, допускаемым исходным уравнением y′′ = 0:

Оператор (4.6.5) – тривиальный (сравните с (2.3.9)), а оператор (4.6.6) задает максимальную группу преобразований, допускаемых уравнением y′′ = 0 [7, 18].

Оператор (4.6.6) определяет преобразования Ли, которые являются естественным обобщением точечных и называются касательными или контактными. По существу, рассматривается группа G точечных преобразований в продолженном пространстве переменных (x, y, y′)

71

Преобразования (4.6.7) называются контактными, если продолженная группа G сохраняет уравнение, выражающее условие касания первого порядка1

С условием (4.6.8) мы будем встречаться и далее, а пока отметим, что классическим примером контактного преобразования является преобразование Лежандра (для функции одной переменной оно рассматривалось в части I):

Сохранение условия касания

n

X ∂y

dy − i=1 ∂xi dxi = 0

здесь очевидно, так как в данном случае

Для систем уравнений, т. е. в случае, когда неизвестной величиной является вектор-функция u = {uα}, α = 1, m, (m > 1) справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.7. Если m > 1, то группа G контактных преобразований (4.6.7) является первым продолжением группы точечных преобразований (1.3.1). В случае m = 1 оператор

является оператором группы контактных преобразований, если и только если

с некоторой функцией W = W x, y, yx). Эта функция называется производящей. Здесь

72

Доказательство приведено в монографии [7].

Возникает естественный вопрос – существуют ли касательные преобразования, не являющиеся контактными, т. е. сохраняющие условия касания высшего порядка? К сожалению, ответ на этот вопрос отрицателен – Беклунд (B¨acklund) доказал, что всякое (однозначное) преобразование, сохраняющее условия касания конечного порядка, является контактным. Приведем теорему Беклунда в следующей формулировке [7]:

Теорема 4.8. Всякая группа касательных преобразований порядка k < ∞ является продолжением группы точечных преобразований, если m > 1, и группы контактных преобразований, если m = 1.

Замечание. Преобразования, сохраняющие условия касания бесконечного порядка (k = ∞), существуют и называются преобразованиями Ли–Беклунда. Попытка инфинитезимального описания этих преобразований приводит нас к формальной теории групп преобразований Ли–Беклунда [7].

Вернемся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Легко видеть, что поиск контактных преобразований для уравнений второго порядка в общем виде приводит к решению исходного уравнения, так как нет “свободных” переменных, по которым можно расщепить определяющее уравнение (ситуация полностью аналогична той, которая возникает при поиске точечных преобразований для уравнений первого порядка). Зато для уравнений третьего и более высоких порядков алгоритм поиска касательных (контактных) симметрий практически такой же, как и для поиска точечных. Рассмотрим его на примере уравнения n-го порядка

допускаемый уравнением (4.6.10), исходя из определяющего уравнения

73

Общее решение уравнения (4.6.12) выражается через функции

n−2

С помощью частного решения F = y(n−2)gn−1 уравнения

D F = y(n−1)gn−1

n−2

можно еще раз проинтегрировать уравнение (4.6.14) и получить

D n−2(η) = y(n−2)gn−1 + y(n−1)gn−2. n−2

с произвольными функциями gn−1, gn−2 от J0, . . . , Jn−1. Повторение этой процедуры дает общее решение уравнения (4.6.12):

где g0, . . . , gn−1 – произвольные функции от J0, . . . , Jn−1.

Из формулы (4.6.15) легко получаются точечные операторы, порождающие (n + 4)-параметрическую (максимальную) группу точечных

атакже группу касательных преобразований.

Вчастности, для уравнения 3-го порядка y′′′ = 0 мы указанным выше способом можем получить 7-мерную алгебру точечных преобразований – первые 7 операторов (4.6.16) с учетом значения n = 3, а также

74

дополнительную 3-мерную алгебру касательных преобразований, которую можно найти и с помощью обычного алгоритма. Будем искать опе-

ратор

X = ξ(x, y, y′)∂x + η(x, y, y′)∂y + ζ(x, y, y′)∂y′.

После вычисления соответствующего продолжения и решения определяющей системы получаем 10-мерную алгебру (точечные + контактные группы), дополнительные три оператора контактных преобразований имеют вид:

Xc3 = 2y′∂x + (y′)2∂y + 0 · ∂y′.

Заметим, что уравнения второго порядка по симметрийным свойствам существенно отличаются от других уравнений высших порядков – допускаемая максимальная алгебра точечных операторов имеет размерность 8 (=6 n + 4), а алгебра контактных операторов бесконечномерна.

Упражнение 11. Получите оператор Ли–Беклунда (4.6.15) способом, использованным выше в случае уравнения второго порядка.

Указание: запишите уравнение (4.6.10) в виде системы уравнений первого порядка и найдите группу точечных преобразований, допускаемую этой системой.

4.7.Вариационные (нётеровы) симметрии

Вданном разделе нам понадобятся некоторые элементы вариационного исчисления, поэтому напомним основные понятия [19, 20]. Если M – множество функций, и каждой функции ϕ M отнесено определенное число, то говорят, что на множестве M задан функционал. Основной задачей вариационного исчисления является поиск условий, при которых функционалы достигают своего экстремума.

Рассмотрим функционал

где y = y(x) M – кусочно-гладкая функция, соединяющая точки

A(x1, y1) и B(x2, y2), т. е. y(x1) = y1, y(x2) = y2, x1 6 x 6 x2. Если

η = η(x) – произвольная кусочно-гладкая функция, удовлетворяющая условию η(x1) = η(x2) = 0, то однопараметрическое семейство функций

75

при достаточно малых значениях параметра α принадлежит некоторой окрестности первого порядка функции y = y(x). Функционал

Zx2

J (y˜) = F (x, y,˜ y˜′) dx, y˜(x1) = y1, y˜(x2) = y2

имеющей минимум при α = 0. Дифференциал этой функции по параметру α в точке α = 0 называется первой вариацией функционала

Необходимыми условиями минимума (максимума) функционала (4.7.1) являются: обращение первой вариации в нуль (δJ = 0) и неотрицательность (неположительность) второй вариации (δ2J > 0 в минимуме и δ2J 6 0 в максимуме). С учетом (4.7.3) первое необходимое условие можно записать в виде

Zx2

Интегрирование по частям первого подинтегрального слагаемого в формуле (4.7.4) дает

откуда, в силу произвольности η следует уравнение Эйлера–Лагранжа в интегральной форме

76

Заметим, что переход от формулы (4.7.5) к равенству (4.7.6) основан на лемме Дю Буа– Реймона о том, что из соотношения ортогональности

Zx2

M (x)η′(x) dx = 0,

x1

где M (x) – кусочно-непрерывная, а η(x) – произвольная кусочно-глад-

кая функция, и η(x1) = η(x2) = 0, следует, что M (x) = const. Дифференцирование уравнения (4.7.6) приводит к дифференци-

альному уравнению Эйлера–Лагранжа

Гладкое решение уравнения (4.7.7) называется экстремалью. Рассмотрим уравнение Эйлера–Лагранжа для функционала

Если матрица kFyi′yk′ k (i, k = 1, n) неособенная, то из уравнений Fyi′ = = pi (i = 1, n) можно выразить yi′ через x, y1, . . . , yn, p1, . . . , pn:

Гамильтонианом для функционала (4.7.8) называется функция

"

H(x, y, p) = −F (x, y1, . . . , yn, y1′ , . . . , yn′ ) +

n

#

X

+yi′Fyi′ (x, y1, . . . , yn, y1′ , . . . , yn′ ) , (4.7.11)

i=1

где производные yi′ определяются формулами (4.7.10). С помощью гамильтониана уравнение Эйлера–Лагранжа записывается в виде системы

77

Система (4.7.12) называется канонической или гамильтоновой системой уравнений Эйлера–Лагранжа, при этом переменные y1, . . . , yn, p1, . . . , pn называются каноническими переменными.

Очевидно, вдоль экстремали

dHdx = ∂H∂x ,

∂H∂x = 0, т. е. H не зависит от x (а значит, и F не зависит

от x), то H = const. Как мы знаем, функция, сохраняющая постоянное значение вдоль каждой интегральной кривой заданной системы дифференциальных уравнений, является первым интегралом этой системы. Поэтому H = const является первым интегралом канонической системы уравнений Эйлера–Лагранжа.

Если дана векторная функция Φ(y1, . . . , yn, p1, . . . , pn), то вдоль экстремали

Выражение, стоящее в правой части формулы (4.7.13), называется скобкой Пуассона и обозначается символом [Φ, H]. При этом обозначении

dΦ

dx

Для того, чтобы функция Φ была первым интегралом канонической системы уравнений Эйлера–Лагранжа, необходимо и достаточно, чтобы

Если не только H, но и Φ зависит от x явно, то имеет место формула

dΦ = ∂Φ + [Φ, H]. dx ∂x

Пусть задана однопараметрическая группа Ли преобразований

(

x¯ = ϕ(x, y1, . . . , yn, α),

(4.7.15)

y¯ = ψ(x, y1, . . . , yn, α),

Функционал (4.7.8), рассматриваемый на линии L : yi = yi(x), i = 1, n, называется инвариантным относительно группы (4.7.15), переводя-

¯

щей линию L в линию L : y¯i = y¯i(¯x), если

¯

Zb Zb

F (x, y1, . . . , yn, y1′ , . . . , yn′ ) dx = F (¯x, y¯1, . . . , y¯n, y¯1′ , . . . , y¯n′ ) dx¯.

a a¯

78

Теорема Э. Н¨етер (Emmy Noether). Всякому преобразованию (4.7.15), оставляющему рассматриваемый функционал инвариантным, соответствует некоторый первый интеграл канонической системы уравнений Эйлера–Лагранжа.

Замечание. Из теоремы Нётер следует, что если подинтегральное выражение в функционале L dx допускает группу (4.7.15), то каноническая система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет первый интеграл, причем и сама система, и ее первый интеграл также допускают эту группу. В этом случае одна точечная симметрия позволяет понизить порядок уравнения сразу на две единицы.

На практике используется следующий критерий: симметрия (уравнения четного порядка) является нётеровой, если координата допускаемого уравнением канонического оператора с точностью до постоянного множителя совпадает с интегрирующим множителем первого интеграла этого уравнения. Поэтому, если оператор точечный, то для поиска нётеровых симметрий уравнения 2-го порядка достаточно найти все первые интегралы, квадратичные по первой производной. Аналогичные условия можно вывести и для уравнений любого порядка 2n.

Следует пояснить, почему нётеровы симметрии существуют лишь для уравнений четных порядков. Это следует из вывода уравнений Эйлера–Лагранжа: если рассматривается функционал, зависящий от производной порядка n, то соответствующее ему уравнение Эйлера– Лагранжа имеет порядок 2n. Неоднократно предпринимались попытки обобщить понятие нётеровой симметрии на уравнения нечетных порядков. Авторам известна по крайней мере одна успешная попытка распространения гамильтонова формализма на уравнения нечетного порядка (С. П. Царев). Однако с практической точки зрения (в смысле интегрирования уравнений) никаких результатов получить не удалось. С другой стороны, П. П. Аврашков в своей кандидатской диссертации привел найденные им примеры уравнений третьего порядка, которые имеют первый интеграл, “наследующий” симметрию исходного уравнения (т. е. фактически имеющие нётерову симметрию).

Кроме теоремы Нётер, применение первых интегралов в групповом анализе основано еще на одном важном свойстве. Пусть уравнение n-го

допускает r-мерную алгебру Ли Lr, заданную операторами Xi, i = 1, r, и имеет первый интеграл P1 = P1(x, y, y′, . . . , y(n−1)). Тогда действие операторов Xi на первый интеграл P1 дает нам выражения, тоже являющиеся первыми интегралами исходного уравнения (хотя не исключено, что тривиальными). Всего возможно четыре исхода:

79

1.Xi(P1) = 0. В этом случае симметрия является нётеровой, так как первый интеграл “наследует” симметрию исходного уравнения.

2.Xi(P1) = C 6= 0. Здесь мы получаем тривиальный первый интеграл.

3.Xi(P1) = CP1. Случай, аналогичный случаю 2 (на многообразии решений исходного уравнения CP1 = const), если не считать того факта, что P1 является собственной функцией оператора Xi. Впрочем, значимость этого факта неясна.

4.Xi(P1) = P2. Если P1 и P2 функционально независимы, этот вариант представляет несомненный интерес (как и случай 1) – у нас так же, как и в случае нётеровой симметрии, появляется возможность понижения порядка на две единицы. Для этого следует исключить старшую производную (y(n−1)) из выражений

Нетрудно найти допускаемую этим уравнением трехмерную точечную алгебру Ли, заданную операторами

Вычисление коммутаторов дает

[X1, X2] = X1, [X1, X3] = X2, [X2, X3] = X3.

Это неразрешимая алгебра, изоморфная SL(2, R), поэтому, с точки зрения теории Ли, порядок уравнения (4.7.17) можно понизить только на две единицы. Однако это уравнение допускает еще и очевидный первый интеграл

“наследующий” симметрию X1. Последовательно вычисляя действие операторов (4.7.18) на первый интеграл P1 (и на новые первые интегралы, получающиеся в результате этой процедуры), приходим к таблице 4.3 (стр. 81).

Здесь

80