de2

Доказательство. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

где k и l – произвольные постоянные. Очевидно, уравнение (2.7.4) допускает оператор X, так как левая часть является дифференциальным инвариантом первого порядка. Если зафиксировать коэффициент k и варьировать l, то получится бесконечное семейство инвариантных уравнений. Естественно, совокупность всех интегральных кривых полученного семейства будет инвариантна относительно преобразований группы с оператором X. Но указанная совокупность совпадает с множеством интегральных кривых дифференциального уравнения второго порядка, полученного из уравнения (2.7.4) исключением параметра l путем дифференцирования. Следовательно, каждое решение уравнения второго порядка

переходит после преобразования рассматриваемой группы в некоторое решение того же уравнения. Обозначив w = dv/du, мы приходим к

обращается в нуль на решениях уравнения w − k = 0. Но так как это верно для всех k, то отсюда следует, что

X w = 0

2

тождественно, т. е. что функция w является инвариантом. Так как по предположению v зависит от y′, w будет зависеть от y′′, являясь тем самым дифференциальным инвариантом второго порядка. Единственность независимого инварианта второго порядка доказывается аналогично утверждениям о единственности независимых инвариантов нулевого и первого порядка

Замечание. Путем дальнейших дифференцирований можно получать дифференциальные инварианты более высоких порядков

d2v d3v

du2 , du3 , . . . .

Таким образом оказывается, что любая группа Ли с оператором X имеет конечный базис инвариантов порядка не выше n. Здесь в полной мере действует общий принцип симметрии: подстановка ин-

вариантов допускаемой группы в качестве новых переменных

41

может понизить размерность или порядок (степень) уравнения. Например, уравнение второго порядка можно записать в инвариантах u, v, w, разрешить получившееся уравнение относительно w и, воспользовавшись формулой (2.7.3), представить это уравнение в виде уравнения первого порядка

Этим достигается понижение порядка исходного уравнения – если найден интеграл

уравнения (2.7.6), то решение уравнения второго порядка сводится к квадратурам, так как подстановка в (2.7.7) известных выражений для u и v приводит к уравнению первого порядка

Φ u(x, y), v(x, y, y′), C = 0,

которое допускает оператор X в силу инвариантности u, v и поэтому интегрируется в квадратурах с помощью интегрирующего множителя (теорема 2.1 из п. 2.3) или приведением оператора X к каноническим переменным (теорема 1.4 из п. 1.4) – при этом уравнение приводится к автономному виду.

Из этих рассуждений становится очевидным смысл понижения порядка дифференциального уравнения – мы не уменьшили порядок, а свели уравнение к системе специального вида, одно из уравнений которой “развязано”, так как содержит только новые переменные и может решаться независимо от второго, а второе в данном случае решается всегда, так как “наследует” оператор X.

42

Глава 3. Уравнения второго порядка и допускаемые ими точечные группы

3.1.Предварительные замечания

Настоящая глава посвящена симметриям обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, причем симметриям точечным или эквивалентным им. Поиск таких симметрий для уравнений старших порядков принципиально ничем не отличается (приводя лишь к более трудоемким выкладкам), поэтому в дальнейшем материал данной главы не будет дублироваться, за исключением некоторых конкретных результатов, касающихся решений общей обратной задачи.

Рассмотрим уравнение 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

и будем искать точечные преобразования (2.2.2), переводящие его в некоторое другое уравнение того же порядка

Следуя логике раздела 2.3, для функций ϕ и ψ, входящих в преобразование, получим определяющее уравнение

(ϕxψy − ψxϕy )F (x, y, y′) + (ϕy ψyy − ψy ϕyy)(y′)3 + (ϕxψyy − ψxϕyy +

+ 2ϕyψxy − 2ψyϕxy )(y′)2 + (ϕyψxx − ψy ϕxx + 2ϕxψxy − 2ψxϕxy )y′+

Так как уравнение (3.1.3) описывает все точечные преобразования, переводящие уравнение (3.1.1) в (3.1.2), то совершенно очевидно, что среди решений уравнения (3.1.3) содержатся преобразования,

˜

соответствующие непрерывным группам Ли – при F = F , и ϕ = = ϕ(x, y, a), ψ = ψ(x, y, a), дискретным группам преобразований – при

′ ˜ ′ ¯

F = F (x, y, y , a¯), F = F (˜x, y,˜ y˜ , b), а также всевозможным группам эквивалентности по любому произвольному элементу. Поэтому поиск любой точечной симметрии уравнения (3.1.1) так или иначе связан с решением уравнения (3.1.3). Исключением является лишь решение ограниченной обратной задачи (об этом см. далее).

Как указывалось ранее в разделе 2.2, при наложении условия непрерывности группы (т. е. при поиске однопараметрической группы Ли) уравнение (3.1.3) переходит в инфинитезимальный критерий инвариантности, линейный по координатам инфинитезимального оператора

43

и их частным производным, что существенно облегчает поиск решений. Кроме этого учтем, что дискретные группы преобразований следует искать после того, как найдены непрерывные группы эквивалентности и определен вектор существенных параметров изучаемого класса D. Поэтому групповой анализ обычно начинают с поиска непрерывных однопараметрических групп преобразований – групп Ли.

3.2.Условие инвариантности и определяющая система

Согласно теореме 1.6, условие инвариантности для уравнения (3.1.1) можно записать в виде

ηxx + (2ηxy − ξxx)y′ + (ηyy − 2ξxy)(y′)2 − ξyy (y′)3 + (ηy − 2ξx − 3ξy y′)F = = ξFx + ηFy + ηx + (ηy − ξx)y′ − ξy (y′)2 Fy′. (3.2.1)

Определяющее уравнение (3.2.1) представляет собой дифференциальное выражение, содержащее две неизвестные функции ξ(x, y) и η(x, y) от двух независимых переменных x и y, их частные производные по этим переменным первого и второго порядков, явную зависимость от аргументов x и y (через функцию F и ее частные производные) и величину y′, от которой искомые функции ξ и η не зависят. Ввиду этого обстоятельства для выполнения равенства (3.2.1) необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты при линейно-независимых функциях от y′ были равны нулю. На практике проще всего разложить функцию F (x, y, y′) в степенной ряд по третьему аргументу, в результате чего уравнение (3.2.1)

ξ(x, y), η(x, y) и их всевозможных частных производных по x и y до порядка p включительно. Таким образом, для выполнения равенства (3.2.1) необходимо и достаточно решить определяющую систему

Процедура перехода от уравнения (3.2.1) к системе (3.2.3) называется расщеплением определяющего уравнения (эта процедура уже встречалась нам в разделе 2.5). Расщепление может производиться и по любому другому набору линейно-независимых функций.

44

Отметим некоторые очевидные свойства определяющей системы (3.2.3).

1.Система линейна по искомым координатам инфинитезимального оператора ξ(x, y), η(x, y), поэтому ее решения образуют линейное векторное пространство.

2.При отсутствии априорных условий на ξ и η система переопреде-

лена, так как даже при Fy′ = 0 она содержит 4 уравнения (коэффициенты при (y′)0, (y′)1, (y′)2, (y′)3).

3.Система конечна, если F – полином по третьему аргументу.

3.3.Алгебры Ли

Рассмотрим подробнее свойство 1 множества решений определяющей системы (3.2.3). Пусть (ξ1(x, y), η1(x, y)) и (ξ2(x, y), η2(x, y)) – два решения системы, определяющие два допускаемых оператора

который, как легко убедиться, является оператором того же вида (слагаемые со вторыми производными сокращаются)

Из определения (3.3.1) следует, что:

1.[X1, X1] = 0.

2.Если некоторое уравнение допускает операторы X1 и X2, то оно допускает и их коммутатор [X1, X2].

3.Коммутатор билинеен: [X, c1X1 + c2X2] = c1[X, X1] + c2[X, X2].

4.Коммутатор антисимметричен: [X1, X2] = −[X2, X1].

5.Коммутатор удовлетворяет тождеству Якоби:

[X1, [X2, X3]] + [X2, [X3, X1]] + [X3, [X1, X2]] = 0.

Определение 3.1. Алгеброй Ли операторов называется векторное пространство L, в которое наряду с любыми операторами X1, X2 L входит также их коммутатор [X1, X2]. Обычно эта алгебра обозначается той же буквой L, а размерность алгебры понимается как размерность векторного пространства L.

45

Замечание. Множество всех трехмерных векторов после введения обычного сложения, векторного умножения и операции умножения на число становится алгеброй Ли.

Пусть Lr – конечномерная алгебра Ли размерности r. Зафиксируем некоторый базис X1, . . . , Xr векторного пространства Lr и рассмотрим коммутаторы [Xµ, Xν ] всевозможных пар базисных операторов. Очевидно (по определению алгебры Ли), что все коммутаторы базисных принадлежат Lr, поэтому

r

X

[Xµ, Xν ] = cλµν Xλ, µ, ν = 1, . . . , r,

µ=1

где cλµν – вещественные числа, называемые структурными константами.

Заметим, что алгебра Lr порождает r-параметрическую группу преобразований вида (1.3.1) с вектор-параметром a = (a1, . . . , ar).

Пусть теперь N – линейное подпространство в Lr.

Определение 3.2. Подпространство N называется подалгеброй,

если [X, Y ] N для всех X, Y N (т. е. оно само является алгеброй

лентности: операторы X и Y из Lr считаются эквивалентными, если Y − X N . Множество всех операторов, эквивалентных данному оператору X, называется смежным классом, представленным оператором X. Всякий элемент Y этого смежного класса имеет вид Y = X + Z с некоторым Z N . Множество смежных классов образует алгебру Ли, которая называется фактор-алгеброй алгебры Lr по идеалу N и обозначается Lr/N . В качестве элементов этой фактор-алгебры можно брать представителей соответствующих смежных классов.

Если принять, что структурные константы могут быть комплексными числами, то верна следующая теорема.

Теорема 3.1. В любой алгебре Lr (r > 2) можно выделить дву-

мерную подалгебру. Любой оператор X Lr можно включить в двумерную подалгебру.

Для доказательства достаточно показать, что для любого X Lr

46

Пример 1. Рассмотрим трехмерную алгебру L3 с базисом

Коммутаторы базисных операторов имеют вид

[X1, X2] = X3,

[X2, X3] = X1, (3.3.4)

[X3, X1] = X2.

Пусть X = X1. Будем искать Y = αX2 + βX3. Тогда условие (3.3.2) в силу равенств (3.3.3) будет иметь вид

αX3 − βX2 = aX1 + bαX2 + bβX3.

Отсюда a = 0, а коэффициенты b, α, β должны удовлетворять системе алгебраических уравнений

bα + β = 0, −α + bβ = 0. Lr

Эта система имеет ненулевое решение (α, β), если её определитель равен нулю:

b 1 = b2 + 1 = 0.

−1 b

Поэтому b = ±i. Например, взяв b = −i, получим β = iα. Следовательно, подпространство, натянутое на операторы X = X1, Y = X2 + iX3, образует двумерную подалгебру L2 L3, причем [X, Y ] = −iY .

Определение 3.3. Алгебра Lr называется разрешимой, если су-

подалгебр размерностей r, r −1, . . . , 1 соответственно, в котором каждая подалгебра Ls−1 является идеалом в Ls (s = 2, . . . , r).

Наиболее простой критерий разрешимости алгебры Ли можно сформулировать, использовав понятие производной алгебры.

Определение 3.4. Пусть X1, . . . , Xr – базис алгебры Lr. Подпро-

странство, натянутое на коммутаторы [Xµ, Xν ] всевозможных пар базисных операторов, образует идеал, который обозначается L′r и называется

производной алгеброй. Производные алгебры более высокого порядка определяются рекуррентно: L(rn+1) = L(rn) ′, n = 1, 2, . . ..

Теорема 3.2. Алгебра Lr разрешима, если и только если её про-

изводная алгебра некоторого порядка обращается в нуль: L(rn) = 0 для некоторого n > 0.

47

Следствие. Любая двумерная алгебра Ли разрешима. Доказательство очевидно. Если X1, X2 – базисные операторы ал-

гебры L2, то существует всего лишь одна нетривиальная пара, образующая одномерную производную алгебру с базисным оператором [X1, X2].

Таким образом,

L′2 = L1.

Таким образом, любая неразрешимая алгебра Ли имеет размерность r > 3. О структурах трехмерных алгебр см. далее, в п. 4.5.

3.4.Групповой анализ уравнения y′′ = 0. Теорема Ли

Рассмотрим применение алгоритма Ли на примере простейшего уравнения y′′ = 0, т. е. уравнения (3.1.1) при F = 0. Определяющее уравнение (3.2.1) имеет вид

ηxx + (2ηxy − ξxx)y′ + (ηyy − 2ξxy )(y′)2 − ξyy(y′)3 = 0,

и система (3.2.3) состоит из четырех уравнений:

Ω0 = ηxx = 0,

Ω1 = 2ηxy − ξxx = 0,

Ω2 = ηyy − 2ξxy = 0,

Ω3 = −ξyy = 0.

Первое и последнее уравнения дают структуру зависимости функций η и ξ от x и, соответственно, от y:

η = b2(y)x + b1(y), ξ = a2(x)y + a1(x);

после интегрирования первого равенства по y, а второго по x, получим

Так как b2 есть функция только от y, а a2 – только от x, коэффициенты полиномов в правых частях системы (3.4.1) должны быть константами. Поэтому

48

Подставляя эти выражения в уравнения (3.4.1), находим, что

c1 = c8 = 0, c9 = c4, c11 = c2, 2c10 = c7, 2c3 = c14,

c5, c6, c12, c13 произвольны. Заметим, что c7 и c14 не входят в выражения для ξ и η, поэтому c3 и c10 тоже произвольны. После переобозначения констант находим оператор, допускаемый уравнением y′′ = 0, в виде

X = (C1 + C2x + C3y + C7x2 + C8xy)∂x + (C4 + C5x + C6y + C7x2 + C8y2)∂y.

Полагая поочередно одну из констант равной единице, а остальные – нулями, получим базис допускаемой 8-мерной алгебры Ли

Заметим, что допускаемая уравнением y′′ = 0 алгебра содержит все наиболее часто встречающиеся непрерывные группы преобразований на плоскости – произвольные переносы (A1X1 + A2X4), вращение (X3 −X5), преобразование Лоренца (X3 + X5), преобразование Галилея (X3), произвольные растяжения (A1X2 + A2X6), проективное преобразование (X7), а также сдвиг на произвольное частное решение исходного уравнения (A1X4 + A2X5). Приведенные рассуждения составляют существенную часть доказательства следующего утверждения.

Теорема 3.3 (С. Ли). Размерность алгебры Ли точечных операторов, допускаемых обыкновенным дифференциальным уравнением 2-го порядка, может принимать значения 0, 1, 2, 3 и 8. Максимальная размерность r = 8 достигается, если и только если уравнение (3.1.1) линейно или линеаризуется некоторой заменой переменной

3.5.Групповой анализ обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера

Применим алгоритм Ли для анализа точечных симметрий класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера

Если считать, что параметры уравнения (в частности, показатели) заранее не зафиксированы, возникает задача групповой классификации, состоящая в поиске групп, допускаемых как классом (3.5.1), так и всеми его специализациями (естественно, при некоторых конкретных значениях параметров группа может расширяться).

49

Набор коэффициентов Ωk для уравнения (3.5.1) будет иметь следующий вид:

Ωl+1 = (l − 3)Axnymξy ,

Очевидно, определяющая система будет содержать максимальное число уравнений (семь), лишь в случае, когда набор {Ωk} не содержит элементов с совпадающими индексами, т. е. при условии l 6= −1, 0, 1, 2, 3, 4. Если же показатель l принимает одно из указанных значений, число уравнений определяющей системы будет меньше семи (хотя и не меньше четырех), и, так как вид системы существенно отличается от общего случая, каждое “особое” значение l необходимо исследовать отдельно. Значения параметров, соответствующие различным определяющим системам, будем называть точками ветвления алгоритма (ТВА).

Если l 6= −1, 0, 1, 2, 3, 4, то из уравнений

Ωl+1 = 0 и Ωl−1 = 0

находим ξ = ξ(x), η = η(y); при этом уравнения Ω3 = 0 и Ω0 = 0 удовлетворяются тождественно, а из уравнений Ω1 = 0 и Ω2 = 0 следует, соответственно,

ξ = ax + b, η = cy + d.

Наконец, последнее уравнение Ωl = 0 имеет вид

(1 − m − l)c + (l − n − 2)a xy − nby − mdx = 0.

Так как все коэффициенты этого уравнения – константы, оно расщепляется на систему трех алгебраических

(1 − m − l)c + (l − n − 2)a = 0, nb = 0, md = 0.

Решение этой системы дает следующие допускаемые уравнением (3.5.1) операторы:

1. m, n, |m + l − 1| + |n + 2 − l| 6= 0:

50