de2

– точнее, она из точечной превращается в нелокальную. Становится ясно, почему (в соответствии с теоремой 4.1) для последовательного понижения порядка требуется разрешимая алгебра Ли.

Рассмотрим свойства двумерных алгебр подробнее. Мы уже отмечали разрешимость любой двумерной алгебры, причем это свойство не зависит от выбора базиса в L2 и инвариантно относительно замены переменных в плоскости (x, y). Отметим еще два инвариантных свойства. Пусть X1, X2 – точечные операторы:

При замене переменных (4.2.4) операторы (4.2.1) преобразуются по фор-

Теорема 4.2. Коммутатор базисных операторов (4.2.2) в алгебре L2 при переходе к новому базису (4.2.5) преобразуется по формуле

[X1′ , X2′ ] = Δ[X1, X2],

а при замене переменных (4.2.4) преобразуются ковариантно:

¯ ¯

[X1, X2] = [X1, X2].

Следствие. Во всякой двумерной алгебре Ли можно выбрать такой базис X1, X2, что выполняется одно из двух коммутационных соотношений:

61

причем каждое из этих соотношений инвариантно относительно замены переменных (4.2.4).

Теорема 4.3. Косое произведение (4.2.3) операторов (4.2.2) преобразуется при заменах (4.2.4) и (4.2.5) по формулам

инвариантно относительно преобразований (4.2.4) и (4.2.5). Замечание. Уравнение (4.2.8) представляет собой необходимое

и достаточное условие существования таких функций ϕ1(x, y) 6= 0 и ϕ2(x, y) 6= 0, с которыми тождественно по x, y выполняется равенство

ϕ1(x, y)X1 + ϕ2(x, y)X2 = 0.

Операторы X1, X2, удовлетворяющие уравнению (4.2.8), называются линейно-связанными.

Теоремы 4.2 и 4.3 позволяют доказать следующее утверждение. Теорема 4.4. Всякая двумерная алгебра Ли путем выбора под-

ходящего базиса X1, X2 приводится к одному из четырех различных типов, определяемых следующими каноническими структурными соотношениями:

IV. [X1, X2] = X1, X1 X2 = 0.

Эти структурные соотношения инвариантны относительно замены (4.2.4), (4.2.6). Пользуясь этой инвариантностью, можно упростить вид базисных операторов алгебры L2 каждого из указанных выше типов.

Теорема 4.5. Базис алгебры L2 подходящей заменой переменных

(4.2.4) может быть приведен к одному из следующих видов (в последнем столбце указан общий вид уравнения второго порядка, допускающего

62

данную алгебру):

Соответствующие переменные x, y называются каноническими переменными.

Таким образом, любое уравнение второго порядка, допускающее двумерную точечную алгебру Ли, может быть алгоритмически проинтегрировано. При этом используются лишь алгебраические преобразования и квадратуры.

Тем не менее исследователю, как правило, достаточно определить, какая из одномерных подалгебр образует идеал, и начинать понижение порядка именно с этого оператора. В ряде случаев особый интерес представляет “неправильное” понижение порядка, в результате которого получается уравнение первого порядка, способ интегрирования которого не очевиден. Если это промежуточное уравнение принадлежит классу уравнений, решения которых представляет интерес для приложений, мы можем получить новые интегрируемые случаи. Пример элементарно интегрируемого уравнения Абеля второго рода, но отсутствующего в справочнике Камке [15], приведен ниже.

4.3.Интегрирование уравнения y′′ = Ax−15/7y2

Проинтегрируем уравнение (3.6.7), т. е.

y′′ = Ax−15/7y2

с помощью допускаемой двумерной алгебры Ли (3.6.4), (3.6.6)

X1 = 7x∂x + y∂y , X2 = 343Ax6/7∂x + 3 49Ax−1/7y + 4 ∂y.

Так как [X1, X2] = −X2, понижение порядка надо начинать с оператора X2. Решая систему (1.4.11), находим

63

Подстановку новых переменных выполним последовательно: сначала сделаем замену неизвестной функции (4.3.1), в результате чего получается уравнение

x3/7u′′ + 67 x−4/7u′ = Ax−9/7u2.

Казалось бы, уравнение стало существенно “хуже”, однако подстановка (4.3.2) дает автономное уравнение, которое очень легко решается:

u¨ = 76A3u2,

причем его решением является эллиптическая функция Вейерштрасса(τ + C2, 0, 1) с инвариантами g2 = 0, g3 = 1. Поэтому и решение уравнения (3.6.7) представимо через эллиптические функции Вейерштрасса. В параметрической форме оно имеет вид

( y = bC1τ τ 2 (τ + C2, 0, 1) 1 ,

x = aC17τ 7,

где A = ±496 a1/7b−1, τ – параметр [2]. В данном случае решение может

быть выписано и в явном виде (хотя во многих других случаях параметрическая форма оказывается единственно возможной).

Понижение порядка уравнения (3.6.7) с помощью оператора X1 приводит к уравнению Абеля 2-го рода

pp′ − p = 256 z + Bz2.

Несмотря на совершенно “прозрачный” метод интегрирования, его решение впервые появилось лишь в конце XX века (см., например, [5]):

где B = ±1256 α−1, а – та же функция Вейерштрасса, что и в решении уравнения (3.6.7).

4.4.Неалгоритмическое интегрирование с помощью нелокальных операторов

Логично предположить, что ЭНО, полученные в результате “неправильного” понижения порядка из заведомо интегрируемых уравнений

64

второго порядка, должны содержать информацию об интегрируемости и этих промежуточных уравнений.

Рассмотрим сначала пример Н. Х. Ибрагимова (4.1.6). Это уравнение допускает экспоненциальный нелокальный оператор (4.1.7)

Если записать оператор в форме

то нетрудно заметить, что выражение в скобках в силу уравнения (4.1.6) равно u˙ + u2. Если от канонической формы оператора перейти к “геометрической”, получим оператор

инвариант которого равен w = u1 − t. Подстановка (вспомните о рекомедации подставлять инвариант!)

u =

1

w + t

приводит уравнение (4.1.6) к уравнению Бернулли

w˙ + 1t w2 + w = 0,

которое, естественно, легко интегрируется.

Пример 3. П. Олвер [10] рассматривает уравнение xy′′ = F (xy′ −y), допускающее двумерную алгебру Ли: X1 = x∂y , X2 = x∂x , [X1, X2] = −X1. Если понижать порядок, начиная с оператора X2 (инварианты t = y, u = xy′), т. е. “неправильно”, то получается уравнение

приводит к легко интегрируемому уравнению – линейному уравнению первого по-

65

Заметим, что та же подстановка (4.4.3) в силу уравнения (4.4.4) приводит оператор (4.4.2) к локальному:

Пример 4. Уравнение (3.6.1) при n = 0, т. е.

допускает двумерную алгебру Ли (см. п. 3.5) с базисом X1 = y′∂y , X2 = [(m + 1)xy′− −2y]∂y . Действуя аналогично процедуре, проведенной в предыдущем примере, мы получаем в качестве промежуточного уравнение Абеля 2-го рода

можно, заменяя первые два слагаемых в силу уравнения (4.4.6) на 2tuu˙ − 2tu, записать в виде

66

осуществляя тем самым прямое интегрирование уравнения Абеля (4.4.6) с помощью нелокального оператора (4.4.8) без повышения порядка и приведения к заведомо интегрируемому уравнению (4.4.5).

Подобные построения хорошо иллюстрируют следующее утвержде-

ние.

Теорема 4.6. ОДУ 1-го порядка

допускающее нелокальный экспоненциальный оператор, интегрируется в квадратурах, если и только если найдена подстановка, преобразующая подинтегральное выражение нелокальной части оператора к полному дифференциалу.

Доказательство. Достаточность очевидна – при выполнении условия теоремы допускаемый нелокальный оператор преобразуется к локальному (точечному). Докажем необходимость. Пусть u(x, y) = C – общее решение уравнения (4.4.9). Очевидно, на многообразии решений этого уравнения подинтегральное выражение можно представить в виде

где одна из функций M , N может быть выбрана произвольной, а вторая связана с ней соотношением

Выберем функцию N так, чтобы она удовлетворяла уравнению

dN

dt = ζy − N Fy ,

где переменная y выражена через t и параметр u с помощью соотношения u(t, y) = C. Тогда при t = x функция N (x, y) удовлетворяет линейному неоднородному уравнению с частными производными первого порядка

∂N ∂N

∂x + ∂y F = ζy − N Fy ,

т. е.

∂N∂x = ∂y∂ (ζ − N F ),

что с учетом соотношения (4.4.11) дает

∂N∂x = ∂M∂y ,

67

т. е. необходимое и достаточное условие того, что выражение (4.4.10) представляет собой полный дифференциал

В ряде случаев для нелокальных операторов удается достаточно легко восстановить исходную группу (решив уравнения Ли), но в формулах, аналогичных (1.3.1), появляется “нелокальная переменная”, идентичная экспоненте в операторе. Так, уравнение (4.1.6), допускающее оператор (4.1.7), переводится “в себя” нелокальными преобразованиями

Для приведения этого выражения к привычной форме y¯ = y + ξa достаточно умножить знаменатель дроби на “сопряженное” выражение и пренебречь квадратами параметра a:

y + ωa

1 + xωa

y + (1 − xy)ωa.

Аналогично, уравнение (4.4.1), допускающее оператор (4.4.2), инвариантно относительно преобразований

Z y¯ = y + ωa, x¯ = x + ωa, ω = exp y−1dx .

В этих формулах a – параметр группы, однако сами по себе нелокальные преобразования являются, по существу, интегральными уравнениями, и их полезность для приложений далеко не очевидна.

В заключение этого раздела еще раз подчеркнем: “неправильное” понижение порядка приводит к успеху, но этот метод не является алгоритмическим, и его нельзя рекомендовать для решения уравнений, допускающих двумерную алгебру Ли. Представляющие интерес результаты могут быть получены лишь в случае, когда актуальны промежуточные уравнения (например, для приложений), а алгоритмические методы их решения не известны.

4.5.Замечания о трехмерных алгебрах

Выше (см. п. 3.3) мы указывали, что минимальная размерность неразрешимой алгебры Ли равна трем. При этом из возможных семи неизоморфных структур в комплексной области неразрешимой является лишь одна. Но, как ни парадоксально, возникающие в прикладных задачах уравнения третьего порядка чаще всего допускают именно эту неразрешимую алгебру (изоморфную SL(2, R)). В частности, в различных задачах встречается уравнение

y′′′ = Ay−2,

68

Таблица 4.1.

относящееся к этому типу. Это уравнение является частным случаем класса уравнений

п. 2.3 первой части) и уравнение четвертого порядка yIV = Ay−5/3, рассмотренное в п. 4.7. При n четном допускаемая трехмерная алгебра Ли является вариационной, что позволяет понизить порядок уравнения (4.5.1) на четыре единицы.

В таблице 4.1 приведена классификация Бианки [16] вещественно неизоморфных структур трехмерных алгебр Ли. Из этих девяти структур в комплексной области остается только семь: тип VII принимает вид

Вещественно неподобных структур существенно больше, они при-

69

ведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2.