de1

2.В любой точке (x0, y0) области единственности решения задачи Коши набор констант Ck0, k = 1, n однозначно определяется начальными

условиями (0.1.5).

Семейство (0.1.8) является Cn-многообразием [10]. Часто общее решение записывается в форме Коши. В явном виде это будет

y = y x; x0, y0, y0′ , . . . , y0(n−1) .

Рассмотрим уравнение (0.1.1) и его решение в форме Коши

Если в области единственности решения задавать различные значения y0 (y01, y02, . . .), то очевидно, что каждое из этих значений будет определять решение, отличное от остальных. Поэтому величину y0 можно рассматривать как параметр, и записать решение (0.1.9) в виде y = ϕ(x; x0, C). В области единственности решения параметр C – существенный. Справед-

лива теорема, утверждающая, что если ∂f (x, y) не только ограничена, но

∂y

инепрерывна в окрестности точки (x0, y0), то функция ϕ(x; x0, y0) имеет непрерывные частные производные по x и y0, если рассматривать y0 как параметр. Следовательно, ϕ(x; x0, C) есть регулярная функция переменного x и существенного параметра C в некоторой области, т. е. является общим решением уравнения (0.1.1). Аналогичным образом доказывается

иобщая теорема о существовании общего решения.

Каждый фиксированный набор констант Ck0, k = 1, n определяет интегральную кривую уравнения (0.1.4). Соответствующее выражение Φ(x, y, C10, C20, . . . , Cn0) = 0 называется частным решением. Частным решением или промежуточным интегралом называется также любое k- параметрическое (k < n) семейство решений, содержащееся в (0.1.8). Таким образом, любое частное решение содержится в общем.

Особым решением называется решение, в каждой точке которого нарушается теорема единственности. Особые решения не могут быть получены из общего ни при каких значениях констант.

Все виды решений (общее, частные и особые) могут быть представлены не только в неявном виде, как (0.1.8). Если можно разрешить выражение (0.1.8) относительно y, мы получаем решение в явном виде, хотя термин “функция” применим здесь в ряде случаев с существенными оговорками – во многих решениях одному значению аргумента соответствует несколько (даже бесконечно много) значений зависимой переменной. Тем не менее о решении часто говорят как о функции y(x). Это вполне оправдано, так как соответствующим выбором координатной сетки удается редуцировать искомое отображение к однозначному (например, двузначная

11

в декартовой системе окружность становится однозначной в полярной). Существуют и универсальные переменные, в которых записывается натуральное уравнение кривой на плоскости R = f (S), где R – радиус кривизны, S – длина дуги [7]. Часто решения записываются и в параметрической форме.

Среди решений, записываемых в явном виде, особую роль играют фундаментальные решения. Говорят, что ОДУ (0.1.4) обладает фундаментальной системой решений, если общее решение этого уравнения выражается через конечное число m произвольно выбранных частных решений yk , k = 1, m формулой

y(x) = ϕ(y1, . . . , ym, C1, . . . , Cn),

содержащей n произвольных постоянных C1, . . . , Cn. Частные решения называют при этом фундаментальной системой решений (ФСР)

уравнения (0.1.4). К сожалению, определение страдает неполнотой – для произвольного уравнения отсутствуют какие-либо требования к частным решениям. Вводимое некоторыми авторами условие “функциональной независимости” частных решений не заслуживает серьезного рассмотрения. Исключением является лишь линейное однородное уравнение – оно всегда имеет ФСР, состоящую из n линейно независимых частных решений. Уравнение Риккати имеет ФСР, состоящую из трех частных решений, однако никаким дополнительным условиям они, по-видимому, не удовлетворяют. Более того, формально можно построить уравнение Риккати, у которого ФСР будет состоять из двух (!) констант (!). Опять-таки формально частных решений три, но два из них совпадают (сравните – если у квадратного уравнения совпавшие корни, никому не придет в голову утверждать, что корень всего один!).

Существует всего один критерий наличия у произвольного уравнения ФСР – доказанная в 1893 году

Теорема Вессио–Гульдберга–Ли. Уравнение (0.1.4) обладает

фундаментальной системой решений, если оно представимо в форме системы специального вида

dx

12

z = (z1, z2, . . . , zn), причем операторы

образуют r-мерную алгебру Ли. При этом число m необходимых частных (фундаментальных) решений удовлетворяет условию nm > r.

Таким образом в отношении ФСР для нелинейных уравнений остается больше вопросов, чем ответов, и эта важнейшая отрасль структурной теории дифференциальных уравнений ждет своих исследователей.

Общее решение может быть построено из набора частных и без ФСР, однако в этом случае требуются не любые, а вполне конкретные частные решения (см., например, раздел 1.6.).

6.Предварительные замечания.

1.Как правило (исключение составляет лишь часть материала третьей главы), мы полагаем, что все встречающиеся в тексте функции представляют собой точные аналитические выражения (не ряды!), достаточно гладкие всюду (кроме, быть может, некоторого множества меры нуль). Поэтому мы не будем специально оговаривать законность той или иной операции, руководствуясь принципом “решение предъявляется” (выше мы уже обосновывали это положение). Это означает, что любой результат может быть проверен прямой подстановкой, что мы и советуем делать даже достаточно квалифицированному читателю.

2.В процессе преобразований мы часто делим или умножаем уравнение на выражения, содержащие x и y (а возможно, и производные y). Во всех без исключения случаях необходимо исследовать вопрос

отом, как изменяется при этом множество решений – некоторые решения могут быть “потеряны” или, наоборот, появятся лишние. Если мы разделили на выражение, которое, будучи приравнено нулю, дает нам решение, надо проверить, является ли оно частным (и тем самым входит в общее) или особым. В изложении основного материала мы будем оговаривать равенство (или неравенство) нулю множителя или делителя лишь в случаях, когда эта информация принципиальна для изучения данного конкретного вопроса (например, для поиска особых решений уравнения Лагранжа).

3.Как правило, на протяжении настоящей работы мы рассматриваем “одиночные” дифференциальные уравнения, а не системы. Для структурной теории такая форма уравнения часто (хотя и не всегда!) оказывается более удобной. Тем не менее следует помнить, что любое уравнение (0.1.4) может быть записано в эквивалентной ему форме

13

нормальной системы

y1′ (x) = y2(x),

y2′ (x) = y3(x),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn′ (x) = f (x, y1, y2, . . . , yn) .

Обратное, вообще говоря, верно лишь теоретически – на практике далеко не всегда удается привести систему n уравнений к одному уравнению n-го порядка. Поэтому запись в виде системы оказывается более общей.

0.2.Основные принципы

При всем кажущемся разнообразии методов и средств интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений существует всего лишь три основных способа:

1)поиск преобразования зависимой и независимой переменной, приводящего исходное уравнение к другому уравнению, для которого задача интегрирования решена (т. е. общее решение уже найдено);

2)поиск способа представления исходного уравнения в виде полной производной (в том числе поиск интегрирующего множителя – функции µ(x, y), такой что исходное уравнение после умножения обеих частей на µ(x, y) становится уравнением в полных дифференциалах);

3)поиск способа представления общего решения через некоторый набор частных.

Внастоящее время существуют алгоритмические методы решения всех трех задач, дающие если не полные, то вполне удовлетворительные результаты для большого класса ОДУ. Однако их изучение требует значительного времени и солидной теоретической подготовки, поэтому они не включаются в основные курсы теории дифференциальных уравнений.

Вподавляющем большинстве учебников по ОДУ методы решения простейших уравнений излагаются как некоторая данность, без какого бы то ни было логического обоснования – отсутствует изложение рациональной логики преобразований. Это, в свою очередь, приводит к тому, что студент воспринимает приведенные формулы как систему своеобразных “шпаргалок”, пригодных для стандартных классов уравнений, а все остальные типы уравнений (даже элементарно интегрируемые) воспринимаются как неразрешимые.

Тем не менее даже без применения строгих теорий можно сформулировать набор принципов, позволяющих интегрировать существенно более

14

широкий набор классов, чем тот, который приводится в существующей учебной литературе. Принципы эти весьма просты и напоминают рекомендации по решению олимпиадных задач для школьников. Авторы сознательно сохраняют некоторые формулировки из работы [11].

1.“Не навреди!” – применяемое преобразование не должно “ухудшать” вид уравнения, т. е. преобразованное уравнение не должно быть сложнее исходного.

2.“Всегда вводи произвол!” – в искомом преобразовании должны быть произвольные параметры или произвольные функции. Распорядившись затем этим произволом по своему усмотрению, исследователь может добиться существенного упрощения исходного уравнения.

3.“«Бяку» надо обозначить!” – если в уравнении “бросается в глаза” комбинация переменных, существенно отличающая его от стандартных типов, эту комбинацию нужно взять в качестве новой переменной.

4.“Используй инвариант!” – если уравнение инвариантно относительно какого-либо преобразования, инвариант этого преобразования полезно использовать в качестве новой переменной.

Следует учитывать, что все принципы носят рекомендательный характер. Можно было бы привести множество примеров нарушения этих принципов, хотя они и являются, скорее, исключениями из правила. Тем не менее, применение этих принципов не дает гарантии успеха – это цена отказа от применения строгих алгоритмических методов, к которым мы перейдем после изучения элементарных приемов.

Укажем еще три общих приема, позволяющих в ряде случаев существенно упростить уравнение:

1)наряду с исходным уравнением полезно рассмотреть уравнение относительно обратной функции; для уравнения первого порядка это так называемое “перевернутое уравнение”

dx

dy

= F (x, y);

2)многие преобразования легко строятся из геометрических соображений: некоторые комбинации переменных можно трактовать как уравнения кривых и упрощать уравнение с помощью сдвигов, растяжений и поворотов этих кривых;

3)кроме точечных преобразований x¯ = f (x, y), y¯ = g(x, y) для преобразования уравнения (особенно неразрешенного относительно старшей производной) можно использовать касательные преобразования

15

Последний прием нуждается в комментариях. Казалось бы очевидно, что если в формулы преобразования входит производная исходной переменной y (т. е. мы проводим так называемую дифференциальную подстановку), в формулу производной преобразованной переменной должна входить вторая производная y′′. Однако если выполняется третье равенство из (0.2.1), производная преобразованной переменной будет зависеть только от первой производной исходной y¯′ = h(x, y, y′). Это третье равенство называется условием сохранения касания, а само преобразование – касательным (касательным первого порядка или контактным). Условие сохранения касания означает, что если p ≡ dy/dx, то p¯ ≡ dy/¯ x¯, т. е. производная при преобразовании снова переходит в производную. Таким образом, касательное преобразование эквивалентно точечному преобразованию в трехмерном пространстве (x, y, z ≡ dy/dx).

Наиболее известным касательным преобразованием является пре-

образование Лежандра

Так как обратное преобразование совпадает с (0.2.2), преобразование Лежандра образует группу преобразований C2. Это преобразование полностью соответствует третьему принципу – если исходное уравнение не разрешено относительно производной, “бякой” является производная, и в ряде случаев преобразование Лежандра (или другое касательное) позволяет “вытащить” ее из-под знака сложной функции.

В заключение параграфа заметим, что если уравнение проинтегрировано, то найдется еще несколько способов его проинтегрировать. Поэтому всегда надо выбирать наиболее рациональный путь решения, позволяющий минимизировать трудоемкость вычислений и записать полученное решение в ясной по структуре и удобной для применения форме.

16

Глава 1. Уравнения первого порядка

1.1.Уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения (1.1) на g(y), получим уравнение

y′(x) = f (x), g(y)

которое часто называют уравнением с разделенными переменными. Его можно проинтегрировать непосредственно: умножая обе части на dx и интегрируя, получим

Z y′(x) dx = Z f (x) dx + C. g(y)

Выполнив в левой части подстановку τ = y(x) и учитывая, что dτ =

Если интеграл в левой части невозможно обратить, мы имеем решение в неявном виде.

Важным частным случаем уравнения с разделяющимися переменными является линейное однородное уравнение, в котором g(y) = = −y

(мы будем в ряде случаев опускать аргументы функций в уравнении, особенно, если они очевидны). Согласно (1.1.2) общее решение уравнения (1.1.3) имеет вид

Это уравнение, строго говоря, однородно только по неизвестной функции y – если сделать замену y = αy¯, то оно останется инвариантным. Более того, уравнение (1.1.3) обладает фундаментальной системой решений (состоящей, впрочем, из единственного решения, в качестве которого можно взять экспоненту в правой части общего решения).

17

Пример 1. В заключение параграфа отметим уравнение, легко сводящееся к уравнению (1.1.1). Это уравнение

Учитывая, что выражение ax + by + c = 0 является уравнением прямой на плоскости

by + c = z(x), которая приводит к уравнению, не содержащему x явно

z′ = bF (z) + a,

откуда следует общий интеграл

Z

dz

bF (z) + a

= x + C.

После обратного перехода к исходной функции y(x) получим общий интеграл уравнения (1.1.5) в неявном виде.

1.2.Линейное уравнение

Если к уравнению (1.1.3) добавить справа свободный член – функцию g(x), получим линейное (неоднородное) уравнение

Учитывая, что любое решение уравнения (1.1.3) обращает левую часть уравнения (1.2.1) в нуль, становится очевидно, что для получения общего решения уравнения (1.2.1) достаточно найти частное решение этого уравнения и затем добавить к нему общее решение однородного уравнения, а именно, решение (1.1.4). Для поиска частного решения неоднородного уравнения воспользуемся двумя первыми принципами интегрирования. В результате получаем две (совершенно равноправные с точки зрения решения) цепочки рассуждений.

Способ 1. Легко видеть, что уравнение (1.2.1) останется линейным лишь при применении линейного преобразования – любые другие преобразования “ухудшают” его вид. Поэтому едва ли не единственная возможность – выполнить подстановку

где u(x) и v(x) – две пока неизвестные функции, любую из них мы можем считать новой искомой функцией, тогда как другую можно определить так, чтобы уравнение после подстановки стало существенно проще. Подставив (1.2.2) в (1.2.1), получим

u′(x)v(x) + u(x)v′(x) + f (x)u(x)v(x) = g(x).

18

Очевидно, что первый принцип выполнен – получилось уравнение, линейное по любой из функций u, v (если вторую считать известной). Такие формы называются билинейными. С другой стороны, второй принцип также выполнен – в уравнении появился функциональный произвол. Сгруппируем, например, второе и третье слагаемое в левой части, вынеся за скобку u(x), и потребуем, чтобы скобка обратилась в нуль. Тогда функция v(x) должна удовлетворять уравнению

откуда следует, что она должна быть решением однородного уравнения (1.1.3). Оставшееся уравнение для функции u(x) имеет вид

Z Z Z

= exp − f (x) dx g(x) exp f (x) dx dx + CC1 .

Переобозначая CC1 = C , окончательно получим формулу для общего решения линейного неоднородного уравнения:

Z Z Z

y(x) = exp − f (x) dx g(x) exp f (x) dx dx + C . (1.2.4)

Таким образом, общее решение линейного уравнения первого порядка находится с помощью двух квадратур.

Пусть теперь известно частное решение y1(x) уравнения (1.2.1). Выполним линейную подстановку z(x) = y − y1 (которая, как мы уже выяснили, не ухудшает вида уравнения). В результате получим

z′ + f (x)z + y1′ + f (x)y1 = g(x) .

|{z }

Выделенная часть этого выражения равна нулю в силу того, что, по предположению, y1(x) является частным решением исходного уравнения.

19

Тогда для функции z(x) получается уже линейное однородное уравнение, которое интегрируется посредством одной квадратуры. Окончательно имеем Z

y(x) = y1(x) + C exp − f (x) dx .

Наконец, если известно два частных решения уравнения (1.2.1), то общее решение можно получить вообще без квадратур:

y(x) = y1(x) + C[y2(x) − y1(x)].

Справедливость этого утверждения следует из того, что, как нетрудно убедиться, разность y2(x) − y1(x) удовлетворяет однородному линейному уравнению (1.1.3).

Способ 2. Попробуем ввести дополнительный произвол в имеющееся общее решение (1.1.4) однородного уравнения (1.1.3). Для этого предположим, что входящая в него произвольная константа C является функцией переменной x. Последующие выкладки во многом повторяют выкладки, проведенные для реализации способа 1, так как формы решения идентичны, просто мы заранее “угадываем” вид функции v(x), исходя из общих свойств линейного уравнения. Естественно, мы снова получим формулу (1.2.4).

Этот метод является эффективным для линейных неоднородных уравнений произвольного порядка и называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

1.3.Уравнение Бернулли

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

Способ 1. Простым рассуждением устанавливается, что подстанов-

20