de1

Новые результаты были получены лишь в конце 70-х годов XX века методами дискретно-группового анализа – были найдены дискретные группы эквивалентности уравнения (1.10.6), изменяющие вид правой части и “размножающие” интегрируемые случаи [5]. К настоящему времени проинтегрировано более 1500 уравнений Абеля второго рода, а все подобные уравнения с правой частью, выраженной в явном виде, приведены в книге [2].

Т. А. Алексеева [16, 17] доказала, что для любого целого k существует одно и только одно уравнение Абеля (1.10.6), для которого с помощью k канонических решений можно построить общее решение в форме (1.10.8). При этом функция R(t) – правая часть уравнения (1.10.6) находится из решения алгебраического уравнения k-й степени. Поэтому до сих пор и не удается найти уравнение Абеля с пятью каноническими решениями. Известно лишь, что правая часть имеет вид

а число b представляет собой несократимую дробь, знаменатель которой равен 1 − k, а числитель при k > 3 четном равен k + 1. Известен также частный случай уравнения при k = 6

uu′ − u = −365 t + At−3/5 + Bt−7/5.

О том, насколько важны подобные построения для структурной теории дифференциальных уравнений, говорит следующее утверждение.

Теорема Пенлеве [18]. Пусть уравнение

имеет общее решение вида

k

Y

β(y − α1)m1 (y − α2)m2 . . . (y − αi)mi = C,

i=1

где P и Q – полиномы относительно y (зависимость от x – произвольная), αi, β – функции от x, mi – неизвестные постоянные. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1.Функции αi зависят алгебраически от коэффициентов уравнения (1.10.10), а функция β дается логарифмической квадратурой.

2.Уравнение (1.10.10) сводится к уравнению Риккати

41

где H и K – полиномы относительно y, коэффициенты которых также как и функции a(x), b(x), c(x) рационально выражаются через коэффициенты уравнения (1.10.10)

1.11.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Рассмотрим уравнение

Если выражение в левой части уравнения (1.11.1) представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (x, y), т. е.

то уравнение (1.11.1) называется уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Пусть уравнение (1.11.1) является уравнением в полных дифференциалах. Тогда

M (x, y)dx + N (x, y)dy = dU (x, y) = ∂U∂x dx + ∂U∂y dy,

поэтому имеют место тождества

Дифференцируя первое тождество по y, а второе по x, и вычитая одно из другого, получим условие того, что левая часть уравнения (1.11.1) является полным дифференциалом:

Условие (1.11.5) является необходимым и достаточным. Доказательство этого утверждения см., например, [19].

Для вычисления общего интеграла можно исходить, например, из первого равенства (1.11.4). Ему удовлетворяет функция

42

где ϕ(y) – произвольная функция от y. Эту функцию нужно выбрать так, чтобы выражение (1.11.6) удовлетворяло и второму равенству (1.11.4), т. е.

Zx ∂M (x, y) dx + ϕ′(y) = N (x, y). ∂y

x0

Используя (1.11.5), перепишем это равенство в виде

Zx ∂N (x, y) dx + ϕ′(y) = N (x, y). ∂x

x0

Вычисляя интеграл в левой части, получим

N (x, y) − N (x0, y) + ϕ′(y) = N (x, y),

т. е. ϕ′(y) = N (x0, y), откуда

Zy

ϕ(y) = N (x0, y) dy + C.

y0

Окочательно получим общее решение уравнения (1.11.1) при условии (1.11.5)

Если при построении U брать за исходное второе равенство (1.11.4), то получим равносильное (1.11.7) выражение

Zx Zy

M (x, y0) dx + N (x, y) dy = C.

x0 y0

Таким образом, уравнение в полных дифференциалах всегда интегрируется в квадратурах.

Если уравнение (1.11.1) не удовлетворяет условию (1.11.5), существует принципиальная возможность привести его к уравнению в полных дифференциалах. Для этого его нужно умножить на подходящий интегрирующий множитель – функцию µ(x, y):

µM (x, y)dx + µN (x, y)dy = 0,

43

выбирая µ из условия, следующего из (1.11.5):

∂(µM ) = ∂(µN ). ∂y ∂x

Дифференцируя и приводя подобные, приходим к уравнению, которому удовлетворяет интегриурющий множитель:

Это линейное уравнение с частными производными первого порядка с неизвестной функцией µ. Его решение в общем случае сводится к решению исходного уравнения (1.11.1), т. е. имеет место та же ситуация, что и в проблеме интегрирования уравнений вообще (мы говорим, что решение уравнения существует, но в то же самое время оно не интегрируется) – интегрирующий множитель существует всегда, так как существует решение уравнения (1.11.8), но для того, чтобы его найти, надо знать решение исходного уравнения, что в свою очередь, и является нашей задачей.

Однако в ряде случаев, заранее предполагая некоторую конкретную структуру интегрирующего множителя, уравнение (1.11.8) можно решить, и более того, решить обратную задачу, т. е. указать весь класс уравнений, имеющий интегрирующий множитель данного вида. Априорное предположение, ограничивающее область поиска, часто называют анзацем (нем. Ansatz). Например, предположим, что интегрирующий множитель является функцией только одной переменной x. Тогда уравнение (1.11.8) после несложных тождественных преобразований примет вид

Левая часть уравнения (1.11.9) есть функция от x. Поэтому и правая часть должна быть функцией только от x; для этого необходимо, чтобы

Условие (1.11.10) дает нам решение обратной задачи, т. е. определяет подкласс уравнений (1.11.1), для которых интегрирующий множитель является функцией только от x. Например, такой вид имеет функция µ для

44

линейного неоднородного уравнения (1.2.1). Легко проверить, что оно удовлетворяет условию (1.11.10), и формула (1.11.11) дает

Z

µ = exp f (x) dx.

Произвольная константа в (1.11.11) для простоты опускается. Вообще нетрудно доказать, что для всякого уравнения (1.11.1) существует бесконечное множество интегрирующих множителей, но отношение любых двух интегрирующих множителей равно константе.

Аналогичные (1.11.10) условия легко выводятся для других анзацев, например, µ = µ(y), µ = µ(xy), µ = µ(x + y).

1.12.Уравнение Дарбу: интегрирующий множитель

Рассмотрим теперь возможность построения интегрирующего множителя для уравнения Дарбу. При умножении на него левая часть уравнения (1.6.3) становится точным дифференциалом однородной функции нулевого измерения

Приравнивая затем W произвольной постоянной, получим общий интеграл. Так как X, Y, Z – однородные функции измерения m, то µ также должно быть однородной функцией, но измерения −m − 2 с тем, чтобы все выражение имело измерение −1.

Условия, при которых левая часть (1.12.1) будет точным дифференциалом, имеют следующий вид:

С учетом однородности функций X, Y, Z и µ эти три соотношения можно свести к одному

Раскрывая скобки, получим

45

Можно принять (подобно предыдущему в п.1.6)

(i)

и нужно выбрать β1, β2 . . . βp так, чтобы при любых x, y, z выполнялись бы равнства

чем для построения общего интеграла в п.1.6. Теперь общий интеграл можно найти с помощью квадратур.

1.13.Уравнение Дарбу: критические особые точки

Снова вернемся к уравнению Дарбу (1.6.3). С геометрической точки зрения это уравнение в каждой точке плоскости определяет некоторую прямую – касательную к проходящей через эту точку кривой, удовлетворяющей уравнению. Так, если прямая (u, v, w) проходит через точку (x, y, z) и бесконечно близкую к ней (x + dx, y + dy, z + dz), то

ux + vy + wz = 0, udx + vdy + wdz = 0,

т. е. u, v, w оказываются вполне определенными (с точностью до общего множителя). Однако эта определенность исчезает, если

46

Точки (x, y, z), удовлетворяющие этим уравнениям, называются особенными (Дарбу), основными (Клебш в теории коннексов) или критическими. Если X, Y, Z – полиномы степени m, их число равно m2 + m + 1.

В критических точках имеется более одной касательной к интегральным кривым – это могут быть касательные к одной и той же интегральной кривой (если эта точка для нее – двойная или кратная), либо касательные к различным интегральным кривым, если они в этой точке пересекаются. Таким образом, критическими точками уравнения Дарбу являются: 1) особые точки интегральных кривых, 2) все точки, общие для двух или более интегральных кривых.

Наличие критических точек существенно влияет на количество частных решений, необходимых для построения общего. Покажем это. Начнем с утверждения о том, что прямая не может проходить более, чем через m + 1 критическую точку. Действительно, уравнение ux + vy + wz = = 0 может иметь с каждым из уравнений (1.13.2) только m + 1 общих решений (их, конечно, может оказаться и больше, но только в том случае, когда некоторая форма ux + vy + wz будет входить общим множителем

вкаждое из уравнений (1.13.2)). Пусть прямая содержит ровно m + 1 критических точек. Докажем, что в этом случае она является частным решением. Примем ее за ось новой системы координат, тогда ее уравнение

вэтой системе будет ξ = 0. Так как критические точки, принадлежащие этой прямой, удовлетворяют уравнениям (1.13.2), последние приводятся к виду Xη = 0, Xζ = 0. Тогда с необходимостью X = 0, т. е. ξ = 0 есть решение.

Обратно, если прямая ux + vy + wz = 0 есть частное решение уравнения (1.6.3), то она содержит m + 1 критических точек. Легко видеть, что udx + vdy + wdz = 0, следовательно, выполняется (1.13.1), поэтому

Если мы будем искать критические точки, лежащие на рассматриваемой прямой, и для этого рассмоторим совместно с ее уравнением одно из уравнений (1.13.2), то в силу (1.13.4) общими их решениями будут удовлетворяться и остальные уравнения (1.13.2), и критических точек будет ровно m + 1.

Подобным образом, нераспадающаяся кривая порядка p (если она является частным решением), не может содержать более (m + 1)p критических точек, так как ее уравнение степени p ϕ(x, y, z) = 0 не может иметь более (m + 1)p общих решений с каким-либо из уравнений (1.13.2)

47

(степени m+1). Однако возможный максимум не достигается: если p > 1, то частное решение (кривая) не может содержать (m + 1)p критических точек (доказательство принадлежит Дарбу). С другой стороны, можно доказать, что число критических точек, не лежащих на ϕ = 0, не меньше, чем p(m −p + 1) + ν, где ν – число особых точек кривой ϕ(x, y, z) = 0. Эти точки определяются системой уравнений

Вышеприведенное построение позволяет существенно уменьшить чис-

u1, u2, . . . , up – кривых, не проходящих через q критических точек – то общий интеграл имеет вид uα1 1 uα2 2 . . . uαp p .

Утверждение следует из того, что, согласно (1.13.3), для каждой из критических особых точек у нас уже есть дополнительное соотношение, справедливое для любого решения, не проходящего через нее. Тем самым число условий уменьшается на число критических особых точек, т. е. на q единиц.

Суммируя вышеизложенное в пп. 1.6, 1.12, 1.13, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 3.

1.Для построения общего решения уравнения Дарбу (1.6.3) достаточно

знать p = m(m + 1) + 2 алгебраических частных интегралов.

2

2.Для построения интегрирующего множителя уравнения Дарбу (1.6.3)

достаточно знать p = m(m + 1) + 1 алгебраических частных интегралов. 2

3.Для построения общего решения уравнения Дарбу (1.6.3) достаточно

знать p = m(m + 1) + 2 − q алгебраических частных интегралов, не

2

проходящих через q критических точек уравнения

Заметим, что полную версию этой теоремы удалось найти только в [13], тогда как в фундаментальной монографии [9] третий пункт теоремы отсутствует.

1.14.Особые решения

Как указывалось во введении, особыми решениями называются решения, в каждой точке которых нарушается теорема о единственности

48

решения задачи Коши. Геометрически особому решению соответствует интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение.

Предположим, что правая часть уравнения (0.1.1) определена и непрерывна в некоторой области D и имеет в каждой точке этой области производную по y. Если ∂f /∂y ограничена в области D, то по теореме Пикара через каждую точку этой области проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (0.1.1) и, следовательно, это уравнение не имеет особых решений. Поэтому особые решения могут быть лишь среди тех кривых, вдоль которых ∂f /∂y не ограничена. Такие кривые называются кривыми, подозрительными на особое решение. Найдя кривую, подозрительную на особое решение, надо сначала проверить, является ли она вообще интегральной кривой уравнения (0.1.1), а затем убедиться, что в каждой ее точке нарушается единственность решения.

Кроме этого, при проведении тождественных преобразований часто возникает необходимость деления обеих частей уравнения на некоторую функцию ω(x, y). В этом случае надо исследовать точки, в которых ω(x, y) = 0: если они являются решениями исходного уравнения, то проверить, содержатся ли они в общем решении (при этом можно полагать, что произвольная константа C [−∞, +∞]). Если нет, то эти решения – особые.

Отметим два часто встречающихся класса уравнений, не имеющих особых решений. Очевидно, что это имеет место, если правая часть уравнения (0.1.1) – целая рациональная функция относительно y

n

X

y′ = Ak(x)yk,

k=0

и если коэффициенты Ak(x) – непрерывные функции: в любой конечной области ∂f /∂y сущестувет и ограничена, и тем самым выполняются условия теоремы Пикара. Рассмотрим теперь уравнение

где P и Q – целые рациональные функции относительно y с непрерывными по x коэффициентами (в частности, P и Q могут быть полиномами по x и y). Мы будем считать, что правая часть уравнения (0.1.1) неприводима, т. е. возможные сокращения на общий множитель в (1.14.1) уже выполнены. Здесь теорема Пикара может нарушаться лишь в точках (x0, y0), в которых Q(x0, y0) = 0. При этом если P (x0, y0) =6 0, то правая

49

часть перевернутого уравнения

x′ = Q(x, y) P (x, y)

удовлетворяет в окрестности точки (x0, y0) условиям теоремы Пикара, т. е. это уравнение имеет единственное решение, проходящее через эту точку, и это решение – частное. Если же P (x0, y0) = 0, то правая часть уравнения (1.14.1) в этой точке не определена. Если в окрестности точки (x0, y0) нет других точек, в которых P и Q одновременно обращались бы в нуль, то через каждую точку этой окрестности проходит лишь одна интегральная кривая, и в этом случае особых решений тоже нет. Это будет, в частности, если P и Q – полиномы по обеим переменным.

Очевидно, что согласно вышеизложенному, линейное уравнение, а также уравнения Риккати, Абеля, Якоби и Дарбу в канонических формах не имеют особых решений. У однородного уравнения особыми могут быть решения вида y = ax, у обобщенно-однородного – решения вида y = axn; у обоих этих уравнений особыми решениями могут быть также полуоси оси Oy.

Если семейство интегральных кривых

уравнения (0.1.1) имеет огибающую, то она является решением этого уравнения, причем особым. Огибающая удовлетворяет системе уравнений

Решение этой системы называется дискриминантной кривой семейства (1.14.2). Дискриминантная кривая может содержать и точки, отличные от огибающей. Поэтому укажем достаточный признак огибающей. Пусть параметрически задана кривая

=x(t),

γ: (1.14.4) y = y(t),

ифункция C = C(t), причем функции x(t), y(t) и C(t) тождественно удовлетворяют системе (1.14.3). Если при этом функция C(t) имеет

непрерывную производную, не равную тождественно нулю, и выполняется неравенство x

то кривая (1.14.4) является огибающей семейства (1.14.2).

50