8.3. Среднее число столкновений и среднее время свободного пробега молекул

Определим среднее число столкновений молекулы газа за одну секунду. Положим, что молекулы-мишени равномерно распределены по объёму с концентрацией n. Пусть все молекулы, кроме одной, покоятся. Тогда движущаяся молекула за одну секунду пройдёт расстояние, численно равное средней скорости , и столкнётся со всеми молекулами, которые окажутся на её пути. Это будут те молекулы, центры которых расположены в объёме цилиндра, длинойи площадью основания σ (рис.8.3).Объём этого цилиндра равен, а число молекул в нём равно. Таким же будет число столкновений, которое испытывает молекула. Если учесть, что движутся все молекулы в выделенном объёме, то при подсчёте числа столкновений нужно учитывать не абсолютную скорость (относительно стенок сосуда), а относительную скорость молекулы, то есть скорость относительно тех молекул, с которыми она сталкивается. Определим относительную скорость двух молекул, движущихся со скоростямии:. Возведём в квадрат обе части последнего равенства и получим:

.

Усредним это уравнение и получим: . Учтём, что, а, получим.

Учитывая это, среднее число столкновений молекулы за одну секунду равно:

(8-4)

С учётом формулы (8-1) получим:

(8-5)

В системе интернациональной единица измерения Z₀ равна с ^{- 1}.

Среднее число столкновений за секунду, испытываемое всеми N молекулами определяют с учётом того, что в столкновениях участвуют пары молекул, а вероятностью столкновения трёх и более молекул пренебрегают:

(8-6)

Среднее число столкновений молекул за время t:

(8-7)

Зная среднее число столкновений одной молекулы за секунду Z₀ , можно найти время между двумя последовательными соударениями молекулы – время свободного пробега :

(8-8)

8.4.Средняя длина свободного пробега молекул

Расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега. Так как молекул много, их движения беспорядочны и столкновения случайны, то длины свободного пробега на зигзагообразном пути молекулы могут быть разными. Поэтому целесообразно говорить о средней длине свободного пробега . Величины сечения рассеяния и концентрации молекул не зависят от пути, пройденного частицей, поэтому вероятность столкновения растёт пропорционально проходимому частицей пути. Длина пути , при которой вероятность столкновения равна единице, называется средней длиной свободного пробега. Для математической записи используем формулу (8-2), заменив dx на и приравняв вероятность столкновения единице, получим:

(8-9)

Средняя длина свободного пробега может быть выражена через среднюю скорость молекул и среднее время свободного пробега, учитывая то, что молекулы идеального газа движутся равномерно и прямолинейно между двумя последовательными соударениями:

(8-10)

Учитывая формулу (8-5), получим:

(8-11)

Среднюю длину свободного пробега можно выразить через параметры состояния газа – давление и температуру, учитывая, что , получим:

(8-12)

Средняя длина свободного пробега при фиксированной температуре обратно пропорциональна давлению, а при фиксированном давлении – прямо пропорциональна температуре.