7.6. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Барометрическая формула выражает закон изменения атмосферного давления при изменении высоты воздушного столба..

Известно, что атмосферное давление с высотой уменьшается. Установим закон изменения атмосферного давления в зависимости от высоты. Упростим задачу, считая температуру постоянной и не изменяющейся с высотой. При возрастании высоты на небольшую величину dx давление уменьшается на малую величину , гдеr - плотность газа, r = m₀n, m₀ - масса молекулы. Удобно выразить плотность газа через макропараметры – температуру и давление. Для этого воспользуемся формулой (2.5) и получим , тогда , а .

Разделим переменные

Интегрируя, получаем:

, где С - постоянная интегрирования, которую находим из условия : при x=0 и С=Р₀ . Тогда

или .

После потенцирования получим барометрическую формулу

. (7-16)

Учитывая, что масса молекулы может быть выражена через молярную массу и число Авогадро , а , показатель экспоненты можно записать через молярную массу и универсальную газовую постоянную:

(7-16')

Так как при постоянной температуре P ~ n , то можно получить выражение для распределения Больцмана или . Числитель показателя экспоненты представляет собой потенциальную энергию частицы, находящейся в поле силы тяжести, а знаменатель пропорционален тепловой энергии. Распределение Больцмана справедливо, если частица находится в любом потенциальном поле, поэтому можно обозначить потенциальную энергию частицы через U(х). Тогда распределение Больцмана будет иметь вид

(7-17)

Распределение Больцмана – это распределение частиц по потенциальным энергиям. Потенциальная энергия зависит от выбора начала отсчёта, и может быть выражена как U(x) = U₀ + U(x). Здесь U₀ – потенциальная энергия частиц в начале отсчёта, U(x)- потенциальная энергия в положении x, U(x)- изменение потенциальной энергии или рассматриваемый интервал потенциальных энергий. Число частиц, потенциальные энергии которых лежат в малом интервале U(x) от U₀ до U(x) , согласно (3.16), равно:

.

Число частиц, потенциальные энергии которых лежат в малом интервале U(x) вблизи U(x) , равно: .

Доля частиц, потенциальные энергии которых лежат в малом интервале U(x) вблизи U(x) , определяется выражением: . Отсюда видно, что доля частиц , потенциальная энергия которых лежит в заданном интервалеU с ростом U уменьшается, а с ростом интервала U вблизи некоторого значения энергии U увеличивается.

При большом числе частиц n₀ и бесконечно малом интервале энергий dU доля частиц, потенциальная энергия которых лежит в в интервалеdU вблизи потенциальной энергии U, имеет смысл вероятности того, что любая частица может иметь потенциальную энергию в указанном интервале вблизи заданного значения потенциальной энергии.

Таким образом, барометрическая формула и распределение Больцмана по потенциальным энергиям имеет вид распределения Гаусса.

Лекция №8

Статистика газов. Микроскопические и макроскопические явления. Статистический и термодинамический методы исследования. Идеальный газ как статистическая система многих частиц. Основы молекулярно-кинетической теории. Давление, объем и температура газа как обобщенные ха­рактеристики состояния газа. Явления переноса в газах. Столкновение молекул. Средняя длина свободного пробега молекул. Диффузия. Осмос. Теплопроводность. Вязкое трение.

8.1. Микроскопические и макроскопические явления. Статистический и термодинамический методы исследования. Идеальный газ как статистическая система многих частиц. Основы молекулярно-кинетической теории. Давление, объем и температура газа как обобщенные ха­рактеристики состояния газа.

Системой называют конечную область пространства с находящимися в ней физическими объектами исследования.

Граница системы может быть как материальной (стенки сосуда), так и воображаемой; неподвижной или движущейся; проницаемой или непроницаемой. Система характеризуется не только особенностями своей границы, но и физическими или химическими свойствами вещества, находящегося в занимаемой системой области пространства .

Макроскопическими системами называют системы, содержащие большое количество физических объектов. Термодинамические макроскопические системы содержат большое количество молекул (атомов, ионов). Различают разные виды термодинамических систем (ТС): закрытые, открытые, адиабатные и изолированные.

Закрытые ТС это системы, не обменивающиеся веществом с другими системами.

Открытые ТС это системы, обменивающиеся веществом и энергией с другими системами.

Адиабатные ТС это системы, в которых нет теплообмена с другими системами.

Изолированные ТС это системы, не обменивающиеся с другими системами ни энергией, ни веществом.

Для описания макросистем в молекулярной физике используют основные параметры состояния – температуру, давление, объём. Любое теоретическое описание реальных систем возможно только на основе той или иной модели, в которой учитывают определённые особенные свойства, а второстепенными пренебрегают. В молекулярной физике рассматривают следующие основные модели: идеальный газ, реальный газ, идеальная жидкость, реальная жидкость, твердое тело, плазма.

Макросистемы могут находиться в равновесном и неравновесном состоянии.

Равновесными состояниями называют такие, при которых макроскопические величины, описывающие поведение изолированной системы, остаются неизменными во времени и одинаковыми в пространстве.

В неравновесном состоянии макровеличины, характеризующие состояние системы, изменяются в пространстве и во времени, при этом в системе возникают потоки вещества и энергии (явления переноса).

Неравновесные состояния сложных систем изучают, используя методы физической кинетики.

Макроскопические системы могут быть линейными и нелинейными. В слабо неравновесных состояниях, где градиенты величин малы, переносимые потоки и силы, вызывающие их, линейно зависят от градиентов. В сильно неравновесных состояниях, где градиенты величин велики, потоки являются более сложными функциями градиентов.

При изучении состояния систем используют термодинамический и статистический подходы.

Термодинамический подход. Систему рассматривают без учета её внутренней структуры. При этом используют понятия и величины, относящиеся к системе в целом. Например, идеальный газ в состоянии равновесия характеризуют объёмом, давлением и температурой (V, P и T). Экспериментально устанавливают связь между этими величинами. Для термодинамического подхода характерно использование термодинамических потенциалов для описания систем, находящихся в равновесном или слабо неравновесном состоянии. Для сильно неравновесных нелинейных систем описание состояния через потенциалы невозможно.

Статистический подход. Динамическое описание системы, содержащей большое число частиц, невозможно. Для изучения макросистем применяют статистические методы, использующие понятия и величины, относящиеся не к отдельным частицам, а к большим совокупностям частиц. Законы поведения совокупностей большого числа частиц, использующие статистические методы, называются статистическими закономерностями. Эти закономерности, как и величины, описывающие состояние системы, зависят от того, в каком состоянии находится система: равновесном или неравновесном.