3.2. Момент силы.

Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы. При этом надо различать понятия момента силы относительно точки и относительно оси. Если сила приложена к материальной точке А (рис.3.1), томоментом силы относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из точки О к точке А, и вектора силы:

. (3-2)

Модуль векторного произведения , а направление вектора момента силы определяется правилом правого буравчика: направление первого векторапо кратчайшему пути вращается к направлению вектора силы, а движение оси буравчика при этом вращении показывает направление вектора.

направлению вектора силы , а движение оси буравчика при этом вращении показывает направление вектора.

Моментом силы относительно произвольной оси z называется векторное произведение радиуса-вектора и составляющей силы, приложенной в точке А (рис.3.2):

(3-2)

3.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, его момент инерции и кинетическая энергия.

Моментом инерции системы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натами х, у, z.

Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями, т.е.

.

Моменты инерции некоторых тел:

Вычислим кинетическую энергию вращающегося тела. Кинетическая энергия одной частицы вращающегося тела массой , движущейся со скоростьюпо окружности радиусом, равна

,

где - момент инерции частицы,- угловая скорость вращения тела. Тогда энергия вращающегося тела

.

3.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Второй закон динамики для вращательного движения.

Моментом импульса (количества дви­жения) материальной точки А относитель­но неподвижной точки О называется физи­ческая величина, определяемая векторным произведением:

.

где — радиус-вектор, проведенный из точкиО в точку A; — импульс ма­териальной точки (рис.3.3); Модуль вектора момента импульса

Моментом импульса относительно не­подвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан­ной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого те­ла вокруг неподвижной оси z каждая от­дельная точка тела движется по окружно­сти постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра­диус является плечом вектора. Поэто­му можем записать, что момент импульса отдельной частицы

где — радиус-вектор, проведенный из точкиО в точку A; — импульс ма­териальной точки (рис.3.3); Модуль вектора момента импульса

и направлен по оси в сторону, определяе­мую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела отно­сительно оси есть сумма моментов импуль­са отдельных частиц:

Учитывая, что , получим

, т. е.

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем последнее уравнение по времени:

, т.е.

Это выражение — является основным урав­нением (законом) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Это уравнение можно выразить следующим образом:

_.

Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то можно написать:

,

т.е. момент силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

В замкнутой системе момент внешних сил и. Данное выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: мо­мент импульса замкнутой системы сохра­няется, т. е. не изменяется с течением времени.