5.3. Сложение перпендикулярных колебаний.

Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты, направления колебаний которых взаимно перпендикулярны друг другу.

Рис.5.6

Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного из колебаний была равна нулю. При таком условии колебания можно записать так: x = a sin wt , y = b sin(wt + j), где величина j представляет разность фаз обоих колебаний. Первое уравнение можно переписать так: (5-7) тогда как второе после преобразования по формуле

суммы синусов двух углов принимает вид . (5-8)

Из первого уравнения следует, что

= ±. (5-9)

Заменяя в уравнении (5-8 ) sinwt и coswt их эквивалентами из уравнений (5-7) и (5-9) , можно найти:

,

или (5-10)

Возводя обе части уравнения (5-10) в квадрат и учитывая, что sin² j + cos² j = 1, получим:

. (5-11)

Уравнение (5-11) является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно осей координат (рис.5.6а)). При sinj = 0 и sinj = p эллипс вырождается в прямую (рис.5.6 в) и д) )

. (5-12)

При разности фаз между колебаниями p/2 оси эллипса совпадают с осями

Рис.5.7

координат (рис.5.6в). Если частоты складываемых колебаний отличаются друг от друга, то форма кривой, которую описывает радиус-вектор суммарного колебания, становится очень сложной и зависит от соотношения складываемых частот. Для некоторых соотношений частот складываемых колебаний получающиеся фигуры, называемые фигурами Лиссажу, показаны на рис.5.7.

5.4. Дифференциальное уравнение колебаний.

Свободные колебания. Рассмотрим колебания груза массы m, висящего на пружине, жесткость которой. Направим ось координат Х вертикально вниз,

причем за начало отсчета примем точку О (рис.5.8), лежащую на одном уровне с центром масс m, когда груз неподвижен. При этом пружина растянута на величину x по сравнению с недеформированном состоянием. Величина упругой силы, действующей на массу m, равна kx. В положении равновесия

mg - kx = 0. (5-13)

Если теперь сместить груз из положения равновесия, то он начнет совершать колебательное движение. Колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе, называются свободными или собственными колебаниями, а частота, с которой происходят эти колебания, называется собственной частотой. Пусть в некоторый момент времени смещение груза равно х. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось Х может быть записан в следующем виде:

ma_x = mg - k (x +x) или с учетом (5-13)

ma_x = - kx . (5-14)

В свою очередь, уравнение (5-14) можно записать иначе, если представить ускорение тела через вторую производную смещения по времени a_x = d²x/dt ² и обозначить величину k/m = :

= - x . (5-15)

Уравнение (5-15) является дифференциальным уравнением второго порядка, однако его решение можно просто угадать простым перебором всех элементарных функций, из которых только функции синуса и косинуса удовлетворяют решению этого уравнения. Действительно, если

смещение x = A sin(w₀t + j), (5-16)

то скорость тела , (5-17)

и ускорение тела . (5-18)

Сравнение (5-16) и (5-18) показывает, что действительно (5-16) является решением уравнения (5-15). Величины А и j остаются произвольными, для их определения необходимо использовать начальные условия, т.е. значения смещения и скорости тела в начальный момент времени. Например, если при t = 0 x (0)= 0, а v(0) = v₀, то из (5-16 ) следует, что sinj = 0 и j = 0, a из (5-17) величина А = v₀/w₀. При этих условиях решением уравнения (5-15) служит функция х(t) = . Задание тех или иных начальных условий обычно определяется конкретными условиями поставленной задачи.

Затухающие колебания. В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине скорости тела:

F_трен = - bv = - b. (5-19)

В этом случае второй закон Ньютона (уравнение движения) для груза, колеблющегося на пружине, приобретает такой вид:

+ mg - k (x +x). (5-20)

Вводя обозначения , это уравнение можно преобразовать так:

, (5-21)

где по-прежнему . Решение этого дифференциального уравнения может быть получено обычным способом, но можно показать, что уравнение (5-21) можно свести к уравнению типа (5-15). Для этого достаточно ввести замену переменныхx(t) = z (t)e ^{- bt}. Проводя операцию дифференцирования, имеем:

; 2b;

, .

С учетом этого уравнение (5-21) может быть записано в таком виде:

++= 0

После сокращения на величину и приведения подобных членов получаем:

. (5-22)

Сравнивая полученное уравнение с выражением (5-15), нетрудно заметить их почти полную идентичность; различие состоит лишь в том, что частота колебаний в (5-22) определяется из формулы . Таким образом решение уравнения (5-21 ) имеет вид:

, (5-23)

где как и ранее величины А и j определяются из начальных условий. В большинстве случаев b<<w₀ и w₃ » w₀ . Решение (5-23) представляет уже негармоническое колебание, т.к. его амплитуда Ауменьшается с течением времени. Относительное изменение амплитуды за период колебания характеризуетсядекрементом затухания D, величина которого находится из выражения:

, (5-24)

т.е. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное периоду колебания. Натуральный логарифм D называют логарифмическим декрементом затухания d, т.е. d = ln D = bТ.