5. Обработка непрерывных сигналов

5.1 Функционал правдоподобия

Ранее рассматривалась проблема проверки гипотез с использованием выборок в дискретные моменты времени и функции правдоподобия. Однако в некоторых задачах удобнее пользоваться непрерывным описанием случайного процесса. Для этой цели вводятся функционал правдоподобия и функционал отношения правдоподобия. Так же положим, что выборочные значения шума распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и ковариационной матрицейпорядкас элементами=:

, (5.1)

где =,– матрица, обратная матрице,– определитель матрицы.

Элементы обратной матрицы равны, где– алгебраическое дополнение к элементуматрицы.

В зависимости от вида корреляционной функции шума, детерминант , зависящий от свойств шума и являющийся функцией числа наблюдений и интервала дискретизации, при, (), принимает всевозможные значения от нуля до бесконечности.

Пример.

1) Шум имеет спектральную плотность мощности, равную ,. Корреляционная функция такого процесса равна

.

Если взять отсчеты через интервал времени , значения дискретной последовательностибудут независимыми и=. Коэффициент перед экспонентой в выражении (5.1) обращается в нуль при.

2) Положим корреляционная функция шума равна

,

а отсчеты взяты с интервалом , где– интервал наблюдения. Тогда=и коэффициент перед экспонентой в выражении (5.1) стремится к бесконечности при.

Чтобы избежать рассмотренной неопределенности, используют не функционал правдоподобия, а функционал отношения правдоподобия. В этом случае исчезает коэффициент перед экспонентой.

Рассмотрим шум как стационарный случайный процесс со значениями, распределенными по нормальному закону, и математическим ожиданием, равным нулю, ковариационной функцией

.

Время наблюдения ограничено интервалом . Сигнал и шум на интервале наблюдения аддитивны и независимы:

Рис. 5.1 Последовательность прямоугольных импульсов

. (5.2)

Построим разложение по ортогональным функциям:

. (5.3)

Выберем (субъективно) в качестве ортогональных функций последовательность не перекрывающихся прямоугольных импульсов, (рисунок 5.1), длительностьюи удовлетворяющих условиям:

(5.4)

а случайную величину определим как

, . (5.5)

Из выражения (5.5) видно, что отсчеты – средние значения процессана интервале дискретизации.

Пользуясь определениями (5.2) и (5.5), запишем значения отсчетов шума и сигнала, которые также представляют средние значения шума и сигналана интервале дискретизации

, . (5.6)

Определим математическое ожидание и дисперсию отсчетов шума

Этот интеграл не равен нулю только лишь тогда, когда интервалы иперекрываются. Так как интервалы дискретны, то для их перекрытия должно выполняться равенствои

(5.7)

Дисперсия случайной величины не зависит от состояния источника. Действительно.

При решении задачи обнаружения сигнала на вход приемника поступает либо шум (состояние источника , т.е. сигнал), либо смесь шума и сигнала (состояние источника, т.е. сигнал). В зависимости от состояния источника получаем реализации на входе приёмника

где – реализации шума,– реализации сигнала.

По полученным результатам отсчетов для двух состояний источника строится отношение функций правдоподобия

=. (5.8)

Заменим дисперсию отсчета наи получим

. (5.9)

Напомним, за время наблюдения производитсяотсчётов, каждый отсчет имеет длительность. Оставляя время наблюдения постоянным, устремим длительность импульса к нулю. Тогда число отсчётов будет возрастать. При условии:

1) сумма сходится по вероятности к интегралу,

2) существует интеграл ,

из (5.9) получим выражение, называемое функционалом отношения правдоподобия

. (5.10)

При проверке статистических гипотез о состоянии источника сигналов логарифм функционала отношения правдоподобия так же, как и при дискретных выборках, сравнивается с порогом, соответствующего заданному критерию,

. (5.11)

Значимость и мощность критерия определяются как

, (5.12)