- •1. Введение
- •2. Типы решаемых задач
- •3. Проверка статистических гипотез
- •4. Критерии качества и правила принятия решений
- •4.1. Проверка двухальтернативных гипотез
- •4.1.1. Критерий Байеса
- •4.1.2. Минимаксный критерий
- •4.1.3. Критерий максимума апостериорной вероятности
- •4.1.4. Критерий максимума правдоподобия
- •4.1.5. Критерий Неймана-Пирсона
- •4.1.6. Последовательный критерий отношения вероятностей (Последовательный анализ Вальда)
- •4.1.7. Различение сигналов
- •5. Обработка непрерывных сигналов
- •5.1 Функционал правдоподобия
- •5.2 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения полностью известного сигнала
- •5.3 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения сигнала со случайной фазой
- •5.3.1. Расчет вероятностей ошибок
- •6. Оценка параметров сигнала
- •6.1. Свойства оценок параметров сигнала
- •6.2 Неравенство Рао-Крамера
- •7. Применение функционала отношения правдоподобия для оценки параметров сигнала
- •7.1. Оценка временного положения сигнала
- •7.2 Обработка пачки сигналов
- •7.3 Реализация алгоритма оценки временного положения сигнала
- •7.3.1 Корреляционный приёмник
- •7.3.2 Согласованный фильтр
- •Библиография
4.1.2. Минимаксный критерий
При использовании этого критерия априорной информацией является матрица потерь и функция правдоподобия. Вероятности , () состояния источника неизвестны. В этом случае средний рискневозможно вычислить. Но доступной информацией является условный риск:
(4.8)
Риски изависят от элементов матрицы потерьи от выбора критического подмножества.
Пусть заданы правила разбиения множествана подмножества. Для каждого правила имеются свои значения условных рисков и , . Для заданного правилавыберем из каждой пары условных рисков наибольший риск
,
В результате получим ряд значений . Из всех существующих рисков выберем тот, который даёт наименьшее значение: . Этому риску соответствует правилоиз множества правил разбиения множестваG. Критерий, обеспечивающий наименьший риск из наиболее возможных рисков, называется минимаксным критерием
(4.9)
Определяющим в этом критерии является способ разбиения множества значений на подмножества.
Пример. Случайная величина принимает значения 1 и 0 с вероятностью и 1-, соответственно. Производится два независимых испытания и в результате имеется выборка объёма. Наблюдателю неизвестно значение , но он предполагает, что вероятность равна либо 0.3, либо 0.5. Таким образом, имеются две гипотезы
, .
Генеральная совокупность образована из всевозможных реализаций:
Выберем правила разбиения множества (субъективно):
Матрица потерь имеет вид
.
Теперь, основываясь на методике минимаксного критерия, нужно выяснить, какое правило разбиения наилучше: или?
Рассмотрим правило .
Вероятности ошибок и вероятности правильных решений будут
,
,
,
Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезыравен
Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезыравен
Максимальное значение риска при разбиении будет равно
.
Рассмотрим правило .
Вероятности ошибок при разбиении по правилу будут
,
,
,
.
Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезыравен.
Условный риск при разбиении по правилу и верности гипотезыравен
Максимальное значение риска при разбиении по правилу будет равно
.
Из двух правил разбиения выберем то правило, которое обеспечивает минимальный условный риск .
Таким образом, наилучшим является правило разбиения .
4.1.3. Критерий максимума апостериорной вероятности
Для применения критерия максимума апостериорной вероятности априорно необходимо знать вероятности состояний источника ,таких, что+= 1, функции правдоподобия,.
Совместная вероятность состояния источника и регистрируемой выборки имеет вид
, j=0; 1. (4.10)
В этом выражении
- априорная вероятность того, что источник находится в состоянии ,j=0; 1.
- функция правдоподобия при состоянии источника .
- апостериорная4 вероятность – вероятность того, что источник находится в состоянии при условии , что выборка приняла значения.
Выразим апостериорные вероятности через составляющие выражения (4.10) и определенные состояния источника
, . (4.11)
В данном случае так же, как и при построении критерия Байеса, к выборочному подпространству отнесем только те выборки , которые обеспечиваютмаксимум апостериорной вероятности при условии, что источник находится в состоянии . Это является критерием разбиения выборочного пространства на подпространства и . В количественном соотношении этот критерий имеет вид
, (4.12)
т.е. вероятность того, что источник находится в состоянии больше, чем вероятность того, что источник находится в состояниипри одной и той же выборке, принадлежащей выборочному подпространству .
Этот критерий называется критерием максимума апостериорной вероятности. При нарушении неравенства (4.12) принимается гипотеза .
Из неравенства (4.12) и соотношений (4.11) следует
. (4.13)
Если значения выборки принадлежат непрерывному множеству, то неравенство (4.13) приводится к виду
. (4.14)
Неравенства (4.13) и (4.14) являются правилами, реализующими критерий максимума апостериорной вероятности.
Если в критерии Байеса положить , то в качестве частного случая получимкритерий максимума апостериорной вероятности.