- •1. Введение
- •2. Типы решаемых задач
- •3. Проверка статистических гипотез
- •4. Критерии качества и правила принятия решений
- •4.1. Проверка двухальтернативных гипотез
- •4.1.1. Критерий Байеса
- •4.1.2. Минимаксный критерий
- •4.1.3. Критерий максимума апостериорной вероятности
- •4.1.4. Критерий максимума правдоподобия
- •4.1.5. Критерий Неймана-Пирсона
- •4.1.6. Последовательный критерий отношения вероятностей (Последовательный анализ Вальда)
- •4.1.7. Различение сигналов
- •5. Обработка непрерывных сигналов
- •5.1 Функционал правдоподобия
- •5.2 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения полностью известного сигнала
- •5.3 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения сигнала со случайной фазой
- •5.3.1. Расчет вероятностей ошибок
- •6. Оценка параметров сигнала
- •6.1. Свойства оценок параметров сигнала
- •6.2 Неравенство Рао-Крамера
- •7. Применение функционала отношения правдоподобия для оценки параметров сигнала
- •7.1. Оценка временного положения сигнала
- •7.2 Обработка пачки сигналов
- •7.3 Реализация алгоритма оценки временного положения сигнала
- •7.3.1 Корреляционный приёмник
- •7.3.2 Согласованный фильтр
- •Библиография
4.1.7. Различение сигналов
Рассмотрим применение отношения правдоподобия для различения двух сигналов и как частный случай – обнаружение сигнала на фоне шумов. Положим, источник может находиться в двух состояниях и, характеризующихся двумя сигналамии, отличающимися друг от друга некоторыми параметрами, (например, амплитудой, фазой и т.д.).
На вход приемника поступает дискретная во времени аддитивная смесь одного из сигналов и шума
,
со значениями
,
шум распределён по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и известной дисперсией ,
.
Математическое описание сигналов экспериментатору известен, но неизвестно, какой из сигналов присутствует на входе приемника. В этой ситуации проверяются две альтернативные гипотезы -
: источник находится в состоянии , т.е. генерирует сигнал,
: источник находится в состоянии , т.е. генерирует сигнал.
На основании выборки экспериментатор должен вынести решениеилио состоянии источника информации.
Для решения задачи применим отношение правдоподобия, которое введено в разделе 3.
В примере 3.3 был получен логарифм отношения правдоподобия
(4.37)
при проверке двух альтернативных гипотез о состоянии источника ,. Все рассмотренные критерии, кроме минимаксного критерия, приводят к единому правилу решения - отношение правдоподобиясравнивается с порогом, зависящим от критерия. Отвлекаясь от типа применяемого критерия, обозначим этот порог черезС. По необходимости, будем заменять величину С соответствующим порогом согласно выбранному критерию.
Использовав нормальный закон распределения вероятности значений шума в дискретные моменты времени, был записан логарифм отношения правдоподобия в виде
(3.8)
Используя (4.37), запишем правило принятия решения
.
(4.38)
Преобразуем (4.38) в вид, удобный для анализа
, (4.39)
где .
Правая часть неравенства не зависит от сигнала на входе приемника. Она определяется априорно известными данными.
Величина - статистика, распределенная, согласно (3.8), по нормальному закону с параметрами, зависящими от состояния источника и шума:
,
(4.40)
=(4.41)
Как видно из (4.41), дисперсия величины Q не зависит от состояния источника на момент приема сигналов. Значимость критерия и мощность критерия определяются как
, (4.42)
. (4.43)
Если решается задача обнаружения сигнала, одно из состояний источника примем за наличие только шума, скажем состояние , т.е. сигнали на вход приемника поступает или шум, или смесь шума и сигнала. Реализация обрабатываемого сигналав задаче обнаружения примет вид
где - реализации шума,- реализации сигнала.
В этом случае формулы (4.38) – (4.43) примут вид
, (4.44)
, (4.45)
где .
Математическое ожидание и дисперсия величины вычисляются как
(4.46)
=.
(4.47)
Значимость критерия и мощность критерия вычисляются по формулам (4.48) и (4.49):
, (4.48)
(4.49)
На рисунке 4.2 изображены плотности распределения вероятностей величины при состояниях источникаи. Интервал значений () – критическая область – область, при попадании в которую значенийгипотезаотвергается, в то время как она верна.
Качество алгоритма обнаружения сигнала оценивается рабочей характеристикой приемника: – вероятность правильного обнаружения как функция вероятности ложной тревоги.