7. Применение функционала отношения правдоподобия для оценки параметров сигнала

В предыдущей главе обсуждался вопрос оценки параметров сигнала. В настоящей главе рассмотрим проблему оценки параметров сигнала по критерию максимума функционала правдоподобия . Однако, помня, что коэффициент пропорциональности в функционале правдоподобия зависит от корреляционной матрицы и чтобы избежать неопределенности при различных корреляционных матрицах, используем критерий максимум функционала отношения правдоподобия

, (7.1)

так же, как в задаче обнаружения сигнала. Такое видоизменение критерия максимум функционала правдоподобия не приведет к изменению значения параметра , при котором функционал принимает наибольшее значение, изменится только само значение функционала.

В явном виде выражение (7.1) будет

. (7.2)

Вид сигнала считается известным, но неизвестно значение параметра , которое скрыто в реализации. Более того, он может быть искажен шумом, так как, где– реализация нормального «белого» шума с математическим ожиданием, равным нулю, и спектральной плотностью мощности, равной, в интервале частот.

В качестве параметра может выступать амплитуда, частота, фаза, длительность задержки сигнала в канале передачи и т.д. На приёмном конце канала передачи информации необходимо построить устройство, которое позволяет оценивать этот параметр. В этом устройстве используем информацию о виде сигнала, т. е. генерируем сигнал с переменным значением. Будем изменять предполагаемый параметр, назовём его, в сигнале. Когда интеграл в выражении (7.2) примет наибольшее значение при некотором, будем считать, оцениваемый параметр. В дальнейшем реализуем эти положения для конкретного параметра.

В силу того, что экспонента – монотонная функция своего аргумента, то достаточно (и удобнее) рассмотреть логарифм функционала отношения правдоподобия, то есть

.

Если параметр – не энергетический (задержка, фаза, частота, но не амплитуда сигнала), то второй интеграл не оказывает влияние на положение точки максимума. Следовательно, критерий максимум функционала отношения правдоподобия приобретает следующий вид:

. (7.3)

Далее рассматривается как не энергетический параметр. Корреляционный интеграл

(7.4)

разбивается на две части :

и , (7.5)

где и- соответственно шумовая и сигнальная составляющие корреляционного интеграла (7.4). Шумовая функция– случайная величина с математическим ожиданием, равным нулю. Дисперсиявычисляется как

(7.6)

Сигнальная функция - детерминированная величина и является функцией переменной:

.

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

.

Знак равенства будет лишь тогда, когда .

Рассмотрим математическое ожидание и дисперсию корреляционного интеграла:

(7.7)

(7.8)

Наибольшее значение корреляционный интеграл достигает при . Эта точка максимума соответствует оценке. Но за счёт шумовой составляющейположение максимума относительно истинного значениябудет случайным. Рассчитать погрешность оценки (дисперсию оценки параметра) в общем случае довольно трудно. Поэтому на практике для оценки нижней границы дисперсии оценкииспользуют теоретически обоснованное неравенство Рао-Крамера.

Помимо дисперсии оценки качество обработки (оценки) принимаемого сигнала характеризуетсяотношением сигнал/шум – отношение максимально-возможного значения сигнальной составляющей к среднеквадратичному значению шумовой составляющей на выходе обрабатывающего устройства:

(7.9)

Для не энергетического параметра сигнала критерий максимума функционала отношения правдоподобия позволяет вычислить отношение сигнал/шум

(7.10)