5.3.1. Расчет вероятностей ошибок

Случайные величины и, (5.29), в силу того, что сигнал и шум аддитивны, а значения шума распределены по нормальному закону, также распределены по нормальному закону, некоррелированы, но с параметрами, зависящими от состояния источника.

Определим математическое ожидание модуля вектора и его дисперсию, учитывая, что

Из формул (5.33) получим

.

Ввиду того, что случайные величины иявляются безразмерными величинами, то и математическое ожиданиеи дисперсиябудут безразмерными величинами.

При условии математические ожидания синусной и косинусной составляющих векторабудут иметь вид:

=

=

.

Математическое ожидание модуля вектораравно

. (5.41)

Примем в качестве отношения сигнал/шум величину, равную .

Математические ожидания синусной и косинусной составляющих вектора при отсутствии сигнала равны нулю:

.

Вычислим дисперсии ипри наличии и отсутствии сигнала:

,

(5.42)

=

Пользуясь определением корреляционной функции белого шума, -функции и допущениями, которые применялись при выводе математического ожидания, запишем. Точно также вычисляется. Подставим значения

, ,,

в формулы(5.42) и получим

.

Используя совместную плотность распределения вероятности величин ис разными математическими ожиданиямии, но с одинаковыми дисперсиями, находится совместная плотность распределения вероятности величини, которая при состоянии источникаимеет вид

, (5.43)

где ,,

, – математические ожидания величинипри наличии сигнала.

Совместная плотность распределения вероятности величин ипри отсутствии сигнала равна

.

Плотность распределения вероятности модуля вектора определяется как

(5.43)

– плотность распределения вероятности модуля вектора , которая называется законом распределения Райса, или обобщенным законом распределения Релея.

При отсутствии сигнала плотность распределения вероятности модуля вектора называется законом распределения Релея и имеет вид

. (5.44)

Следует отметить, что все величины, входящие в распределение Райса (5.43) и распределение Релея (5.44), являются безразмерными.

Уровень значимости критерия проверки гипотез (вероятность ошибки первого рода, вероятность ложной тревоги) вычисляется по формуле

, (5.45)

мощность критерия (вероятность правильного принятия гипотезы при наличии сигнала, вероятность правильного обнаружения) вычисляется по формуле

. (5.46)

На рисунке 3.7 приведены рабочие характеристики для полностью известного сигнала и для сигнала со случайной фазой при одном и том же значении отношения сигнал/шум. Как видно из рисунка, при одной и той же вероятности ложной тревоги вероятность правильного обнаружения больше для сигналов, параметры которого полностью известны.

6. Оценка параметров сигнала

6.1. Свойства оценок параметров сигнала

При передаче информации от источника пользователю или при измерениях параметров сигнала в присутствии шума сигнал искажается и необходимо оценить (определить) значение параметрасигнала. Существуют различные критерии, позволяющие построить правила обработки измеренных значений сигнала. Выбор того или иного критерия зависит от наличия априорной информации о сигнале, о шуме и т.д. Оценкаявляется функцией экспериментальных данныхили. Сигнал может содержать один неизвестный параметрили несколько параметров. В последнем случае возникает проблема совместной оценки параметров. Приведем несколько критериев, наиболее часто используемых на практике.

Критерий минимума среднеквадратического отклонения

, .

Критерий максимума апостериорной вероятности

, .

Критерий максимума функционала или функции правдоподобия

.

.

Информацию о параметре сигналаполучают в результате обработки дискретной выборкиили непрерывной реализации. При этом возможно два типа выводов, отвечающих на вопросы:

- какова величина параметра ?

- в каком интервале значений находится истинное значение параметра ?

В первом случае, по статистике определяется оценка величины, которая в некотором смысле (по некоторому критерию) указывает точку в области возможных значений параметранаименее отличающейся от истинного значения.

Во втором случае необходимо указать границы , называемыедоверительными, в пределах которых с некоторой вероятностью находится истинное значение параметра . Задача заключается в определении доверительного интервала. Этот вывод называется интервальной оценкой.

Оценка является случайной величиной и поэтому помимо определения величины оценки, необходимо вычислить закон распределения вероятностей измеряемого параметра, а если это невозможно, хотя бы дисперсию оценки, являющейся мерой точности (или мерой погрешности) оценки.

Оценка , будучи случайной величиной, может быть:

состоятельной,

несмещённой,

достаточной,

эффективной.

Оценка называетсясостоятельной, если её значение сходится по вероятности к истинному значению при неограниченном увеличении числа испытаний, то есть

, или , (6.1)

где - сколь угодно малая положительная величина.

Оценка называетсянесмещённой, если или асимптотическинесмещённой (то есть отсутствует систематическая ошибка), если . Это означает, при проведении серии испытаний усредненное значение оценкиравно истинному значению параметра и, более того, отсутствует систематическая ошибка. В частности, существуют оценки, для которых можно записать, где– смещение, не случайная величина, зависящая от истинного значения.

Понятие достаточности оценки было введено Р. Фишером. Оценка параметрабудетдостаточной, если никакая другая статистика, вычисленная по той же выборке, не может дать дополнительной информации относительно . Критериемдостаточности по Г. Крамеру является возможность представления совместной плотности вероятности через произведение функций, зависящих оти от переменных, то есть

.

Необходимым и достаточным условием существования достаточной статистики является представление плотности вероятности выборки и параметрачерез экспоненциальную функцию:

.

Если существует достаточная оценка , то и некоторая функцияот оцениваемого параметра тоже будет достаточной оценкой (Г. Крамер).

Как известно, оценка является функцией выборочных значений, то есть. Могут существовать различные функции (статистики)для оценивания одного и того же параметра. Для каждого случая можно вычислить дисперсию. Оценканазываетсяэффективной, если её дисперсия является наименьшей из набора дисперсийвсех возможных оценок. Если оценка

–эффективная оценка параметра , то она является достаточной статистикой. Не все достаточные статистики будут эффективными статистиками. Может сложиться такая ситуация, что только при неограниченном увеличении числа испытанийдисперсиябудет наименьшей. Тогда говорят, что оценкаасимптотически эффективная.