5.2 Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения полностью известного сигнала

Применим функционал отношения правдоподобия для обнаружения полностью известного сигнала. Сигнал считается полностью известным, если наблюдатель знает полностью его математическое описание, но ему неизвестно есть ли сигнал в реализации, которую зафиксировал приемник. Для решения проблемы наличия или отсутствия сигнала в реализациипроизводится проверка гипотези.

Гипотеза - источник не генерирует сигнал(S=0), альтернативная гипотеза - источник генерирует сигнал(S0).

Тогда согласно гипотезе приемник фиксирует только реализации шумаили согласно гипотезеаддитивную смесь сигнала и шума:

, или реализации ,

, или реализации .

Используем функционал отношения правдоподобия (5.10) для решения поставленной задачи.

Решающее правило (5.11) преобразуется в выражение

, (5.13)

где – энергия сигнала.

Левая часть неравенства , показывающая степень статистической связи известного сигналаи принятой реализации, называетсякорреляционным интегралом и от его значения зависит, какая из гипотез будет отвергнута. Реализацию интеграла на практике можно осуществить двумя способами, используя интегратор (рисунок 5.2), или согласованный фильтр (рисунок 5.3):

Для того чтобы определить значимость критерия и его мощность, определим числовые характеристики случайной величиныпри различных состояниях источника. Используя представление принятого сигнала при различных состояниях источника, запишем математическое ожидание корреляционного интеграла

(5.14)

Подставив выражение в (5.14), получим математическое ожидание корреляционного интеграла

(5.15)

Дисперсию корреляционного интеграла вычислим как

(5.16)

Математическое ожидание квадрата корреляционного интеграла имеет вид

. (5.17)

Учитывая, что сигнал и шум некоррелированы, получим

Подставив значения в (5.17), вычислим

(5.18)

После подстановки ив (5.16) получим

. (5.19)

Дисперсия корреляционного интеграла не зависит от состояния источника.

Корреляционный интеграл является пределом интегральной суммы, члены которой распределены по нормальному закону. Известно, сумма нормально распределённых случайных величин также распределена по нормальному закону. Из этого следует, что значенияраспределены по нормальному закону с числовыми характеристиками, зависящими от состояния источника и вычисленными ранее.

Вероятность ошибки первого рода (значимость критерия, вероятность ложной тревоги) равна

. (5.20)

Вероятность правильного решения при состоянии источника , (мощность критерия, вероятность обнаружения сигнала), равна

(5.21)

Введём понятие отношения сигнал/шум. Это субъективное понятие, и его определение зависит от решаемой задачи. В теории обнаружения сигналов отношение сигнал/шум вводится как отношение максимума математического ожидания корреляционного интеграла к среднеквадратическому отклонению дисперсии корреляционного интеграла

(5.22)

- отношение сигнал/шум по энергии.

В выражении (5.22) спектральная плотность мощности шума определена в интервале частот . Если учесть, что на практике частоты принадлежат интервалу, отношение сигнал/шум примет значение

В некоторых задачах удобно ввести отношение сигнал/шум по мощности

, (5.23)

–средняя мощность сигнала,

–полоса частот, занимаемая сигналом.

Существует связь между отношением сигнал/шум по энергии и отношением сигнал/шум по мощности:

.

Качество работы устройства обработки сигналов (приёмника) при различных отношениях сигнал/шум удобно сравнивать по рабочей характеристике (рисунок 5.4), являющейся зависимостью мощности критерия от уровня значимости.

Тангенс угла наклона касательной к рабочей характеристике в точке, соответствующей некоторым и, равен порогу обнаружения С.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определениями функции правдоподобия ,и отношением правдоподобия.

Из определения функции правдоподобия следует

(5.24)

Мощность критерия и значимость критерия, согласно определениям, равны

Тангенс угла наклона касательной к рабочей характеристике равен

.

Конкретное значение постоянной С зависит от выбранного критерия. Таким образом, по семейству рабочих характеристик можно определить порог для требуемогоипри некотором значении отношения сигнал/шум.