- •Механика Лекция 1
- •Ускорение
- •Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
- •Преобразования Галилея
- •Основное уравнение динамики
- •Центр масс.
- •Движение тела переменной массы
- •Лекция 3 Закон сохранения момента импульса
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Лекция 4 Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике
- •Консервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Сопоставление формул механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси
- •Лекция 5 Колебания
- •Свободные незатухающие колебания
- •Лекция 6 Свободные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания
- •Резонанс
- •Лекция 7 Механические волны
- •Энергия волны
- •Интерференция волн
- •Стоячие волны
- •Лекции 8 и 9 Элементы релятивистской механики
- •Преобразования Лоренца
- •1). Одновременность событий в разных системах отсчёта
- •2). Длина тел в разных системах
- •3). Промежуток времени между событиями
- •Интервал
- •Преобразование скоростей
- •Элементы релятивистской динамики
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Сопоставление формул механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси
Поступательное движение |
Вращение |
–линейная скорость |
–угловая скорость |
–линейное ускорение |
–угловое ускорение |
т – масса |
J – момент инерции |
–импульс |
–момент импульса |
–сила |
–момент силы |
или – уравнение движения |
или – уравнение движения |
–кинетическая энергия |
–кинетическая энергия |
–работа |
–работа |
–мощность |
–мощность |
Лекция 5 Колебания
Колебаниями называют процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.
Колебания называют периодическими если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при её колебаниях, повторяются через равные промежутки времени.
Т0 – период колебаний (наименьший промежуток времени, удовлетворяющий этому условию);
–частота колебаний;
–циклическая (круговая) частота (в электротехнике называют угловой частотой).
Гармоническими называют периодические колебания величины , если
или
где
–амплитуда колебаний;
–фаза колебаний;
–начальная фаза колебаний
Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины также совершают гармонические колебания той же частоты:
Амплитуды исоответственно равныи.
Разность фаз колебаний иS постоянна и равна (величинаопережаетS по фазе на ).
Величина опережаетS по фазе на .
Сравнивая значения S и видно, что гармонически колеблющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению
.
Общее решение этого уравнения:
, где
А1 и А2 – произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий
.
Общее решение можно привести к виду
, где
и .
Физическая величина S совершает гармонические колебания в том и только в том случае, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний
, где .
Векторная диаграмма. Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора на плоскости, модуль которого равен амплитуде А колебаний.
Вектор А равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью , равной циклической частоте
.
Сложение гармонических колебаний.
а) сложение колебаний одного направления
По теореме косинусов
, где
и
.
Негармонические колебания, получающиеся в результате наложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами , называютбиениями.
Пусть и
, где
.
Тогда , где
В частности, если А1= А2 = А0 , то
и так. что
.
Период биений –
Частота биений –
Любое сложное периодическое колебание можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратнымиосновной циклической частоте
Такое представление периодической функции называютразложением её в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.
б) сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.
Пусть точка М одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОУ по законам:
и
Для получения уравнения траектории надо избавиться от t .
и
Тогда
Так как , получаем
или .
Траектория имеет форму эллипса, который колеблющаяся точка М проходит за время одного периода .
Если , гдет = 0; +1; -1; +2; -2; … , то оси эллипса совпадают с осями ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны А1 и А2
.
Если при этом А1 = А2 , то траектория точки М – окружность.
При эллипс вырождается в отрезок прямой.
в) сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот:
и
п1 и п2 – целые числа
точка М имеет траекторию в виде замкнутой кривой, называемой фигурой Лиссажу , зависящую от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний.