- •Механика Лекция 1
- •Ускорение
- •Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
- •Преобразования Галилея
- •Основное уравнение динамики
- •Центр масс.
- •Движение тела переменной массы
- •Лекция 3 Закон сохранения момента импульса
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Лекция 4 Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике
- •Консервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Сопоставление формул механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси
- •Лекция 5 Колебания
- •Свободные незатухающие колебания
- •Лекция 6 Свободные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания
- •Резонанс
- •Лекция 7 Механические волны
- •Энергия волны
- •Интерференция волн
- •Стоячие волны
- •Лекции 8 и 9 Элементы релятивистской механики
- •Преобразования Лоренца
- •1). Одновременность событий в разных системах отсчёта
- •2). Длина тел в разных системах
- •3). Промежуток времени между событиями
- •Интервал
- •Преобразование скоростей
- •Элементы релятивистской динамики
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Энергия волны
Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией.
Выбрав малый объём среды dV можно записать для плотности энергии
, где
–скорость колеблющихся частиц в среде;
–фазовая скорость волны;
–плотность среды;
–относительная деформация.
Для продольной плоской волны и, т.е.
.
Для плоской гармонической волны
.
Для сферической гармонической волны
.
Среднее за период значение плотности энергии
.
Скорость переноса энергии равна фазовой скорости .
Потоком энергии через малую площадкуназывают отношение.
Так как , то
, где
–вектор плотности потока энергии или вектор Умова.
т.е. поток энергии через произвольную поверхность S , мысленно проведённую в среде, охваченной волновым движением, равен потоку вектора Умова через эту поверхность.
Скалярную величину I , равную модулю среднего значения вектора Умова, называют интенсивностью волны:
Принцип суперпозиции волн : результирующее возмущение в какой либо точке линейной среды при одновременном распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующей каждой из этих волн в отдельности.
.
Интерференция волн
Две волны называют когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Гармонические упругие волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.
Рассмотрим наложение двух гармонических волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде точечными источниками S1 и S2 , с циклическими частотами ω1 = ω2 = ω и начальными фазами φ1 и φ2..
По принципу суперпозиции
.
А и Ф определяем по методу векторных диаграмм
.
–геометрическая разность хода волн от S1 и S2 до точки М.
Амплитуда результирующих колебаний максимальна еслиили
. Если то.
Амплитуда результирующих колебаний минимальна еслит.е.или
. Если то.
Число т называют порядком интерференционного максимума.
Стоячие волны
Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны, которые образуются в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу и имеющих одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн ещё и одинаковую поляризацию.
Тогда
.
Амплитуда стоячей волны является периодической функцией от координатых .
Точки, в которых АСТ = 0 называют узлами стоячей волны, а точки, где АСТ = 2А называют пучностями стоячей волны.
Положение узлов и пучностей находится из условий
–узлы;
–пучности (т = 0; 1; 2; …).
Длиной стоячей волны называют расстояние между двумя соседними узлами или двумя соседними пучностями
.
В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), т.к. аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты х .
В стоячей волне скорость колебательного движения частиц среды
,
а относительная деформация среды
.
Таким образом, в отличие от бегущей волны, в стоячей волне опережаетυ0 по фазе на π/2 , так что в те моменты времени, когда υ0 достигает амплитудного значения, обращается в нуль, и наоборот.
В пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы деформации среды.
Если l – длина струны, стержня или столба газа, υ – фазовая скорость волны, а λ – её длина, то для струн или стержней, закреплённых на обоих концах, и столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине l укладывается целое число длин стоячей волны λСТ = λ /2.
Отсюда вытекает условие
–собственные частоты колебаний таких систем (гармоники).
–основной тон;
–первый обертон.
Для стержней, один конец которых закреплён, а другой свободен, и для труб, закрытых с одного конца и открытых с другого,
.