Консервативные силы

Силу, действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения материальной точки. Работа консервативной силы не зависит ни от вида траектории точки между её начальным (1) и конечным (2) положениями, ни от закона движения точки по траектории

.

Работа консервативной силы на произвольной замкнутой траектории l точки её приложения равна нулю

.

Существуют силы, которые не принято называть консервативными, хотя они и удовлетворяют условиям для консервативных сил. Это силы, зависящие от скоростей материальных точек и направленные перпендикулярно этим скоростям. Работа таких сил, часто называемых гироскопическими силами, всегда равна нулю независимо от того, как движутся материальные точки, к которым они приложены. Например, сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в нём заряженную частицу.

К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопротивления движению в какой-либо среде. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положениями частицы (и не равна нулю на любом замкнутом пути).

Потенциальная энергия

Работа А_1-2 , совершаемая консервативными (потенциальными) силами при изменении конфигурации системы , т.е. расположения её частей (материальных точек) относительно системы отсчёта, не зависит от того, как конкретно осуществляется процесс перехода из начальной конфигурации системы (1) в конечную (2). Работа А_1-2 полностью определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Следовательно, её можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы W, называемой потенциальной энергией системы:

A_1-2 = W₁ – W₂.

Элементарная работа потенциальных сил при малом изменении конфигурации системы:

.

Потенциальную энергию системы можно найти только с точностью до произвольного постоянного слагаемого. В каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости W от конфигурации системы выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальную энергию системы полагают равной нулю.

Таким образом, потенциальной энергией механической системы называют величину, равную работе, которую совершают все действующие на систему консервативные силы при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние, соответствующее её нулевой конфигурации.

Рассмотрим простейшую механическую систему, состоящую из одной материальной точки, на которую действует консервативная сила

или

Откуда следует:

или

.

Вектор, стоящий в скобках и построенный с помощью скалярной функции W называется градиентом функции W и обозначается .

Итак, где

–оператор набла.

Пример 1. Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле силы тяжести.

;

h – высота подъёма тела над поверхностью Земли ;

W₀ = 0 на поверхности Земли.

.

Пример 2. Потенциальная энергия упруго деформируемого тела.

по закону Гука ;

прих = 0 (для недеформированного тела);

– деформация (удлинение или сжатие деформируемого тела).

.

Пример 3. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.

Силы, действующие на материальную точку, называются центральными, если они зависят только от расстояния между материальной точкой и некоторой неподвижной точкой – центром силы – и направлены всюду от центра силы либо всюду к центру силы. Если центр силы принять за начало координат, то центральная сила

, где

–радиус вектор, проведённый из центра силы в рассматриваемую точку поля;

–расстояние от точки до центра силы;

–проекция силы на радиус-вектор.

Для сил отталкивания ;

Для сил притяжения .

Докажем, что поле центральных сил потенциально:

т.к. и

.

Найдём потенциальную энергию материальной точки:

.

Обычно полагают, что . Тогда

.

а) для гравитационного поля материальной точки или однородного шара , где

М – масса материальной точки или однородного шара, создающих гравитационное поле;

т – масса материальной точки, находящейся в рассматриваемом поле.

.

б) для электростатического поля точечного электрического заряда или равномерно заряженных шара или сферы .

.

Механической энергией системы называют величину Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергий системы:

E = K + W .

Изменение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех неконсервативных сил, действующих на систему, и изменения потенциальной энергии системы за рассматриваемый промежуток времени, обусловленного нестационарностью внешних консервативных сил

.

Если система замкнута то .

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы консервативные (потенциальные) либо не совершают работы (например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают).