- •Механика Лекция 1
- •Ускорение
- •Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
- •Преобразования Галилея
- •Основное уравнение динамики
- •Центр масс.
- •Движение тела переменной массы
- •Лекция 3 Закон сохранения момента импульса
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Лекция 4 Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике
- •Консервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Сопоставление формул механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси
- •Лекция 5 Колебания
- •Свободные незатухающие колебания
- •Лекция 6 Свободные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания
- •Резонанс
- •Лекция 7 Механические волны
- •Энергия волны
- •Интерференция волн
- •Стоячие волны
- •Лекции 8 и 9 Элементы релятивистской механики
- •Преобразования Лоренца
- •1). Одновременность событий в разных системах отсчёта
- •2). Длина тел в разных системах
- •3). Промежуток времени между событиями
- •Интервал
- •Преобразование скоростей
- •Элементы релятивистской динамики
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Лекция 6 Свободные затухающие колебания
Затуханием колебаний называют постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы.
Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухания свободных механических колебаний вызываются главным образом трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением в ней упругих волн.
Систему называют линейной если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.
Пример: свободные затухающие колебания пружинного маятника массы т , движущегося в вязкой среде вдоль оси ОХ. На маятник действуют две силы: сила упругости пружины Fупр и сила сопротивления среды Fc , которую, как показывает опыт, можно считать часто прямо пропорциональной скорости υ и направленной в противоположную скорости сторону:
, где
r – постоянный положительный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления.
По второму закону Ньютона по оси ОХ
или
, где .
В любом физическом процессе, который можно описать с помощью дифференциального уравнения типа
–коэффициент затухания;
ω0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т.е. в отсутствии потерь энергии (β = 0).
В курсе математического анализа доказывается, что решение этого дифференциального уравнения следует искать в форме , а его общее решение.
С1 и С2 – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий;
δ1 и δ2 – корни характеристического уравнения .
Если , то корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые:
, где
–мнимая единица.
Общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид
.
Используя формулу Эйлера для комплексных чисел
получаем
.
Вводя вместо С1 и С2 новые две постоянные А0 и ψ0 , связанные с С1 и С2 соотношениями
получаем окончательно
.
Значения А0 и ψ0 определяют из начальных условий, т.е. из значений S и в начальный момент времени (t =0).
График зависимости S(t) при затухающих колебаниях имеет вид
Затухающие колебания не являются периодическими, так как амплитуда колебаний всё время уменьшается, но величину обычно называют условным периодом, аω – условной циклической частотой затухающих колебаний.
–амплитуда затухающих колебаний;
– начальная амплитуда.
– время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается ве раз.
Для количественной характеристики быстрого убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента – λ
, где
Ne – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Так как и, то
и .
Энергия затухающих колебаний складывается из потенциальной и кинетической . После подстановке сюдаиполучаем зависимостьE(t), которая графически представлена на рисунке
Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна
.
Таким образом, кроме тех моментов, когдаυ = 0.
При малом затухании (β << ω0) зависимость E(t) становится практически эквипотенциальной: и убыль энергии в этом случае
.
Добротностью колебательной системы называют безразмерную величину Q , равную произведению 2π на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени равный одному условному периоду затухающих колебаний (от t до t + Т)
.
Так как E(t) пропорциональна A2(t) то
При малых значениях логарифмического декремента (λ << 1) можно принять и для этого случая
Для гармонического осциллятора (пружинного маятника) при малом затухании получаем
.
При достаточно большом затухании система совершает апериодическое движение. Выведенная из положения равновесия, она возвращается в это положение.
Фазовая траектория свободных затухающих колебаний имеет форму спирали