Лекция 3 Закон сохранения момента импульса

Моментом силы относительно неподвижной точки О (полюса) называется векторная величина , равная векторному произведению

, где

–радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А приложения силы.

По модулю момент силы равен , где

–плечо силы –кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Главным моментом (результирующим) системы сил относительно точки О называется вектор , равный векторной сумме моментов относительно точки О всех сил системы

.

Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О (полюса) называют вектор

, где

т_i и – масса и скорость материальной точки.

Моментом импульса системы относительно неподвижной точки О называют векторную сумму моментов импульса относительно той же точки О всех материальных точек системы:

.

Если твёрдое тело вращается с угловой скоростью вокруг точки О , томомент импульса тела относительно неподвижной точки О

. где

–радиус-вектор, проведённый из точки О в малый элемент тела массой dm ;

–скорость этого элемента тела.

Поскольку – векторыив общем случае не совпадают по направлению

.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной осиOZ называется физическая величина J_Z , равная

, где

m_i и R_i – масса i–й точки и её расстояние от оси OZ.

Момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси OZ

, где

dm = ρ^.dV – масса малого элемента тела объёмом dV;

ρ – плотность материала твёрдого тела;

R – расстояние от элемента dV до оси OZ.

Если тело однородно, т.е. его плотность всюду одинакова, то

.

Момент инерции тела J_Z является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг неподвижной оси OZ подобно тому как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела J_O относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции тела J_С относительно оси С, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями

J_O = J_C + m^.а ² .

Доказательство теоремы:

Пусть положение i-го элемента твёрдого тела относительно осей О и С характеризуется векторами и , а положение оси С относительно оси О – вектором , плоскость которого перпендикулярна осям О и С . Воспользовавшись связью между этими векторами, преобразуем выражение для момента инерции тела относительно оси О следующим образом:

, или

.

В правой части этого равенства первая сумма представляет собой момент инерции тела J_C i-го элемента твёрдого тела относительно оси С, а последняя сумма равна m^.а ². Покажем, что средняя сумма равна нулю.

Пусть – радиус-векторi-го элемента твёрдого тела относительно центра масс, тогда относительно центра масс суммарный вектор . Но– это составляющая вектора, перпендикулярная осям О и С . Очевидно, что если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям О и С , также равна нулю, т.е.и теорема доказана.

Моменты инерции некоторых однородных твёрдых тел:

Тело	Положение оси	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиуса R и массы т	Ось обруча или цилиндра	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R и массы т	Ось цилиндра или диска
Шар радиуса R и массы т	Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиуса R и массы т	Ось проходит через центр сферы
Прямой тонкий стержень длины l и массы т	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец