Преобразование скоростей
Для К’-системы , движущейся относительно К-системы с постоянной скоростью υ0 вдоль оси ОХ получаем из преобразований Лоренца для координат и времени:
.
Так как
,
то
и
и
и
Эти формулы выражают закон сложения (преобразования) скоростей в релятивистской кинематике.
В пределе при
(при этом
)
они приводят к классическому закону
сложения скоростей в классической
механике Ньютона:
;
;
и
.
Как бы ни были близки к с скорости двух частиц, их относительная скорость друг относительно друга всегда меньше с .
Пример: две частицы движутся вдоль оси ОХ К-системы (лабораторной системы отсчёта) навстречу друг другу со скоростями υ1 = 0,9с и υ2 =0,7с .
Будем считать, что
частица 2 неподвижна в К*-системе,
т.е.
.
Тогдаυ1
= υх
, а
относительная скорость
Получаем:
Элементы релятивистской динамики
Из принципа относительности следует, что математическая запись любого закона физики должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что уравнения, описывающие какое-либо явление в К’-системе, получаются из уравнений, описывающих то же самое явление в К-системе путём простой замены всех нештрихованных величин на штрихованные (условие ковариантности или условие лоренц-инвариантности).
Релятивистским импульсом материальной точки называют величину
.
Величину
называютрелятивистской
массой, а
т
– массой частицы (иногда называют массой
покоя), одинаковой во всех системах
отсчёта (инвариантной).
Опыт подтверждает, что приведённый выше релятивистский импульс частицы действительно подчиняется закону сохранения независимо от выбора инерциальной системы отсчёта.
Основное
уравнение динамики
в релятивистской динамике принимает
вид
.
Видно, что сила
F
зависит от скорости
.
Т.е. в
разных
системах отсчёта её числовое значение
и направление будут различны
(неинвариантны).
Закон взаимосвязи массы и энергии
Найдём приращение
кинетической энергии dK
релятивистской
частицы под
действием силы
на элементарном пути
:
Рассмотрим теперь
выражение
.
Введя левую и правую часть этого выражения
в квадрат получаем:
Найдём дифференциал этого выражения, имея в виду, что т и с – постоянные величины:
.
Разделив на (2т) и сравнивая с dK получаем
dK = c2.dmp .
После интегрирования получаем:
Анализ выражения для кинетической энергии привёл Эйнштейна к важному выводу: тс2 – это общая внутренняя энергия тела, из каких бы видов она ни состояла (электрическая, химическая и др.). Эту энергию назвали энергией покоя Е0 = тс2 .
Величину Е = трс2 = Е0 + К назвали полной энергией тела.
В полную энергию не включена потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле, если таковое действует на тело.
Из закона взаимосвязи массы т и энергии покоя Е0 тела видно, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции – как мера энергосодержания тела.