Основной закон динамики вращательного движения

Выражение 2-ого закона Ньютона можно преобразовать, умножив левую и правую часть на:

или или

Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг оси OZ.

Момент импульса твёрдого тела относительно начала координат (точки О)

.

Вектор перпендикулярен оси, а векторнаправлен вдоль осиOZ. Таким образом , или

.

Тогда

.

Если тело в процессе вращения не деформируется, то и

или

, где

–проекция вектора углового ускорения на ось вращенияOZ.

Для замкнутой (изолированной) системы момент внешних сил М_ВНЕШН всегда равен нулю, так как на неё внешние силы не действуют. Поэтому из основного закона динамики вращательного движения (закона изменения момента импульса) вытекает закон сохранения момента импульса:

и .

Момент импульса замкнутой системы относительно неподвижной точки не изменяется с течением времени.

Если за неподвижную точку взять центр масс системы, то для замкнутой системы .

Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси OZ также всё время остаётся постоянным:

.

Если в незамкнутой системе сумма моментов относительно какой-либо неподвижной оси всех внешних сил, действующих на систему, тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени. Т.е. если , то.

Пример: Скамья Жуковского

Скамья Жуковского представляет собой горизонтальную площадку, имеющую форму круга и свободно вращающуюся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси OZ . Человек, стоящий на скамье, держит в руках массивные гимнастические гантели и вращается вместе со скамьёй вокруг OZ .

Прижимая гантели к груди, человек уменьшает момент инерции системы, и угловая скорость её вращения возрастает.

Поскольку момент внешних сил (сил тяжести и реакции подшипников скамьи) относительно оси OZ равен нулю, момент импульса системы относительно оси OZ в рассматриваемом процессе не изменяется, т.е.

. где

–момент инерции человека и скамьи;

т – масса одной гантели.

Лекция 4 Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике

Работа. Рассмотрим малое перемещение , в пределах которого силу, действующую на материальную точку, можно считать постоянной.

В механике вводится понятие элементарной работы силына перемещение_:

, где

–угол между векторамии;

–элементарный путь;

–проекция вектора на вектор.

Работа силы на всём участке 1-2 определяется интегрированием

.

Данное выражение справедливо не только для материальной точки, но и вообще для любого тела или системы тел. В этом случае под или следует понимать перемещение точки приложения силы.

Работу геометрически можно найти как площадь фигуры, ограниченной кривой , ординатами 1 и 2 и осью . При этом площадь фигуры над осью берётся со знаком «+» (положительная работа), а площадь фигуры под осью – со знаком «–».

Элементарную работу можно также представить как

,

а в декартовых координатах

.

Сила в общем случае – функция нескольких переменных, а элементарная работа силыне является, вообще говоря, полным дифференциалом какой либо функции координат точки. Поэтому принято элементарную работу обозначать символом, а не.

Примеры вычисления работы:

1. работа упругой силы , где– радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.

–проекция вектора на вектор.

.

2) работа гравитационной силы

.

3)работа однородной силы тяжести , где– орт вертикальной осиZ, положительное направление которой выбрано вверх.

.

Если на тело в процессе движения действует несколько сил, результирующая которых , то работа результирующей силына некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении.

.

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).

Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени (т.е. скорость, с которой совершается работа).

.

Зная зависимость мощности от времени, можно найти работу

.

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт).

Энергией Е называют скалярную физическую величину, которая является общей мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего; она может лишь переходить из одной формы в другую (механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.).

Кинетической энергией К механической системы называют энергию механического движения этой системы.

Изменение кинетической энергии материальной точки происходит под действием приложенной к ней силы и равно работе, совершаемой этой силой:

.

Закон изменения кинетической энергии: приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы , действующие на все части системы

.

Значения скорости и кинетической энергии одной и той же материальной точки различны в двух системах отсчёта, движущихся друг относительно друга. Рассмотрим инерциальную систему отсчёта К и систему К^* , движущуюся относительно К поступательно со скоростью .

Для каждой материальной точки .

Тогда

.

Для кинетической энергии системы

Здесь т – масса всей системы;

и К^’ – значения импульса и кинетической энергии рассматриваемой системы в системе отсчёта К^*.

Если в качестве К^*-системы взять Ц-систему (систему центра масс), то ир^’= 0 т.к. любая система частиц как целое покоится в своей Ц-системе .

Получаем теорему Кёнига:

кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы в её движении относительно Ц-системы и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью её центра масс.

Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме его кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела (центра инерции) и кинетической энергии вращения этого тела вокруг центра масс..

, где

и - момент инерции твёрдого тела и его угловая скорость вращения относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс.

Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью , то его кинетическая энергия

, где

–момент импульса тела относительно точки О , принятой за начало координат;

–момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через точку О и параллельной вектору .