Поступательное и вращательное движения твёрдого тела

Поступательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с телом (например, прямая АВ) перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению.

При поступательном движении твёрдого тела все его точки имеют одинаковые скорости, а следовательно и одинаковые ускорения.

Кинематическое рассмотрение поступательного движения твёрдого тела сводится к изучению движения любой из его точек. В динамике обычно рассматривают движение центра масс тела. Твёрдое тело, свободно движущееся в пространстве, имеет три поступательные степени свободы, соответствующие его поступательным перемещениям вдоль трёх осей координат.

Вращением (или вращательным движением) называют такое движение твёрдого тела, при котором хотя бы две его точки А и В остаются неподвижными. Неподвижная прямая АВ называется осью вращения тела. При вращении вокруг неподвижной оси все точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения.

Твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы.

Угловой скоростью называют вектор , который численно равен(– угол поворота тела вокруг оси) и направлен вдоль неподвижной оси так, чтобы из его конца вращение твёрдого тела было видно происходящим против часовой стрелки (правило правого винта).

Вращение тела называют равномерным, если . В этом случае .

Периодом вращения – Т называют промежуток времени, в течение которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью , совершает один оборот вокруг оси вращения.

Движение твёрдого тела, при котором одна из его точек остаётся неподвижной, называют вращением тела вокруг неподвижной точки. Обычно эту точку принимают за начало координат неподвижной системы отсчёта. В каждый момент времени это движение тела можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку и называемой мгновенной осью вращения ОО^’.

Скорость произвольной точки М тела равна

Тело может совершать три независимых движения – вращаться вокруг каждой из трёх взаимно перпендикулярных осей, проходящих через точку О (имеет три степени свободы).

Для характеристики быстроты изменения вектора угловой скорости тела при неравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси или при его вращении вокруг неподвижной точки вводится вектор углового ускорения тела.

Проекция углового ускорения на неподвижную ось вращения OZ равна

,

где – проекция на ту же ось вектора .

Ускорение произвольной точки М тела, вращающегося вокруг точки О или неподвижной оси, проходящей через эту точку, называютлинейным ускорением.

, где

–вращательное ускорение точки;

–осестремительное ускорение точки, направленное к мгновенной оси вращения.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси OZ, то вращательное ускорение точки М совпадает с её тангенциальным (касательным) ускорением , а осестремительное – с нормальным (центростремительным) ускорением

.

Всякое сложное движение твёрдого тела можно разложить на два простых движения: поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. Скорость произвольной точки М тела

, где

–радиус вектор точки М ;

–радиус вектор центра масс.

Свободное твёрдое тело имеет 6 степеней свободы: 3 степени свободы поступательного движения и 3 степени свободы вращательного движения.

Простейший случай сложного движения тела – плоскопараллельное движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях (например, цилиндр, скатывающийся с горки).