- •Механика Лекция 1
- •Ускорение
- •Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
- •Преобразования Галилея
- •Основное уравнение динамики
- •Центр масс.
- •Движение тела переменной массы
- •Лекция 3 Закон сохранения момента импульса
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Лекция 4 Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике
- •Консервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Сопоставление формул механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси
- •Лекция 5 Колебания
- •Свободные незатухающие колебания
- •Лекция 6 Свободные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания
- •Резонанс
- •Лекция 7 Механические волны
- •Энергия волны
- •Интерференция волн
- •Стоячие волны
- •Лекции 8 и 9 Элементы релятивистской механики
- •Преобразования Лоренца
- •1). Одновременность событий в разных системах отсчёта
- •2). Длина тел в разных системах
- •3). Промежуток времени между событиями
- •Интервал
- •Преобразование скоростей
- •Элементы релятивистской динамики
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Преобразования Лоренца
.
Подобно тому как классические представления о пространстве и времени формулируются количественно с помощью преобразований Галилея для координат и времени, новые релятивистские представления о пространстве и времени формулируются с помощью преобразований Лоренца.
Пусть имеется инерциальная система отсчёта К . координаты любой точки, например, точки В , в этой системе обозначим черезх, у, z , а время через t. Другая инерциальная система К’ движется с постоянной скоростью относительно системы К , а осиy’ и z’ параллельны соответствующим осям y и z (это означает рассмотрение частных преобразований, а не общих). Начало отсчёта времени выбраны таким образом, чтобы в момент времени t = 0 точки О и О’ совпадали.
и
в К-системе
в К’-системе . Следовательно
, где
–некоторая константа.
Аналогично: в К’-системе
в К-системе и
.
Из равноправия систем К и К’ вытекает, что коэффициент пропорциональности в обоих случаях должен быть один и тот же.
Для произвольной точки В получаем
и
Для нахождения коэффициента используем 2-ой постулат СТО. Пусть в момент времениt = t* = 0 в направлении осей х и х* посылается световой сигнал, который производит вспышку на экране в точке В. Это событие описывается координатой х и моментом t в системе К и координатой х’ и моментом t’ в системе К’, причём
и , тогда
Перемножив два последних уравнения, получаем
или .
Для координат получаем
и , где
.
Для получения формулы, определяющей t по известным t’ и х’ исключаем координату х из исходной системы уравнений
или
.
Так же получают
.
Зависимости ;;иназываютпреобразованиями Лоренца.
В пределе, при и приβ << 1 преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея.
Различие в течение времени в разных системах отсчёта обусловлено существованием предельной скорости распространения взаимодействий.
При выражения длястановятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большимис невозможно.
Для запоминания удобна следующая запись
.
Кинематические следствия из преобразований Лоренца
1). Одновременность событий в разных системах отсчёта
Пусть в системе К в точках х1 и х2 происходят одновременно два события в момент времени t1 = t2 = τ. Тогда в системе К’ этим событиям будут соответствовать моменты
и , где.
Т.е если в К-системе события пространственно разобщены, то в К’-системе они не будут одновременными .
Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, а в других системах может быть наоборот. Сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинная связь. (Рождение элементарной частицы во всех системах отсчёта происходит раньше её распада и ни в одной из систем ребёнок не рождается раньше его родителей).
2). Длина тел в разных системах
Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ’ и покоящийся относительно К’-системы.
Длина его в этой системе
.
Относительно К-системы стержень движется со скоростью . Для определения его длины в этой К-системе нужно отметить координаты его концовх1 и х2 в один и тот же момент времени τ = t1= t2 .
Из преобразований Лоренца получаем
и
откуда или.
Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины l0 , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится.
В направлении осей ОУ и OZ размеры стержня одинаковы во всех системах отсчёта.