Основное уравнение динамики

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей силе, приложенной к этой точке.

Векторную величину называют элементарным импульсом силыза малое времяdt её действия.

Изменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на неё силы.

При рассмотрении системы материальных точек, которые могут взаимодействовать как между собой (внутренние силы), так и с телами, не входящими в данную систему (внешние силы) вводится понятие импульса системы, равного векторной сумме импульсов её отдельных частиц:

.

Как и в случае с одной частицей приращение импульса системы за конечный промежуток времени t

, где

–результирующая всех внешних сил.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным

Замкнутой (или изолированной) называют систему тел, на которую не действуют никакие посторонние тела или их воздействие пренебрежимо мало (внешние силы отсутствуют).

Импульсы отдельных частей замкнутой системы могут меняться со временем, однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части системы.

Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии, что результирующая всех внешних сил равна нулю.

У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс , а его проекцияр_х на некоторое направление ОХ. Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы на направление Х равна нулю.

Центр масс.

Центром масс системы материальных точек (частиц) называется точка С , положение которой относительно начала системы отсчёта характеризуется радиусом-вектором

–масса и радиус-вектор i-ой частицы;

т – масса всей системы частиц.

Если в пределах данной системы поле силы тяжести можно считать однородным, то центр масс системы совпадает с её центром тяжести.

Скорость центра масс системы .

Уравнение движения центра масс т.е.центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы. При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что её импульс сохраняется в процессе движения

.

Ц-система

Систему отсчёта, жёстко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам отсчёта, называют системой центра масс или, кратко, Ц-системой.

Полный импульс системы частиц в Ц-системе всегда равен нулю, т.к. в этой системе = 0. (Любая система частиц как целое покоится в своей Ц-системе.

Система из двух частиц:

т₁ ; т₂ – массы частиц;

–скорости частиц в исходной К-системе;

–скорости частиц в Ц-системе;

–импульсы частиц в Ц-системе;

–скорость Ц-системы относительно К-системы отсчёта.

Тогда

.

Учитывая, что

Получаем

т.е.

.

Движение тела переменной массы

Пусть в некоторый момент времени t масса движущегося тела равна т , а присоединяемое или отделяемое вещество имеет скорость относительно данного тела. Выберем К-систему отсчёта, скорость которой равна скорости тела в начальный момент времени.

Пусть за промежуток времени dt тело приобретает в К-системе импульс за счёт действия силысо стороны окружающих тел и вследствие присоединения (отделения) массыδт , которое приводит к изменению массы тела на dm .

Тогда или

Это уравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы или уравнением Мещерского.

Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчёта, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчёта.

–реактивная сила.

Если масса присоединяется, то и векторсовпадает по направлению с вектором. Если масса отделяется (ракета), тоипротивоположен вектору.

В случае ракеты при отсутствии внешних сил (F = 0)

и получаем формулу Циолковского

, где

т₀ – масса ракеты в момент старта;

т; υ – масса и скорость ракеты через время t после начала работы реактивного двигателя.

Согласно этой формуле скорость ракеты растёт неограниченно.

Если бы вся масса топлива была мгновенно выброшена со скоростью относительно ракеты, то скорость ракеты была бы ограничена.